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14. TRIÁNGULO DE PASCAL Y TRIÁNGULO DE SIERPINSKI

TRIÁNGULO DE PASCAL

             

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10

 

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6

 

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7

 

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Recordemos en primer lugar el procedimiento seguido para construir el triángulo aritmético o de Pascal.
Numeramos las filas del triángulo comenzando por 0, es decir fila 0, fila 1, fila 2, etc. La fila "n" contiene n + 1 elementos, el primero y el último de los cuales toman el valor 1, mientrás que los demás elementos se obtienen sumando los dos elementos de la fila anterior entre los que se encuentra situado.
El primer applet que se encuentra en esta página muestra inicialmente las primeras filas del triángulo de Pascal.
El interés de dicho triángulo se debe a múltiples razones. Por ejemplo: los números que aparecen en cada fila son los coeficientes que se obtienen al desarrollar (a + b)n. Por ejemplo, si nos fijamos en la fila-3 observamos que los números 1, 3, 3, 1 son precisamente los coeficientes del desarrollo de
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
Por otra parte, los números del triángulo reciben el nombre de números combinatorios. En la fila-3 tenemos 4 números combinatorios: C3,0=1 ,C3,1= 3, C3,2= 3, C3,3=1. El número combinatorio Cn,m representa el número de grupos distintos de m elementos que se pueden formar a partir de n objetos, de forma que cada grupo se diferencie de otro en algún elemento (combinaciones de n elementos tomados de m en m). Por ejemplo ¿cuántos delegaciones de 11 miembros se pueden formar a partir de un grupo de 20 personas? La respuesta es C20,11. Para calcular el número basta construir 21 filas del triángulo de Pascal y fijarnos en el número que ocupa el lugar 12 (hemos empezado a contar los elementos de cada fila por el elemento 0 y las filas por la fila-0). El cálculo también se puede hacer utilizando la fórmula siguiente:
Cn,m = , donde n! se lee "n factorial" y significa: n! = n·(n - 1)·(n - 2)·.......·1. (p.ej. 4! = 4·3·2·1=24)

En el triángulo de Pascal aparecen los números triangulares (1, 3, 6, 10,...), tetraédricos (1,4,10,20,35,56,...), los números de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,......), etc.
Se han estudiado multitud de propiedades numéricas del triángulo, criterios de divisibilidad, algoritmos para calcular restos al dividir por un número concreto, etc.
El triángulo debe su nombre al célebre matemático Blaise Pascal (1623-1662) quien estudió algunas propiedades del mismo, siendo más importante el método utilizado para demostrar una de ellas que la propiedad en sí. Pascal utilizó aquí por primera vez de forma clara y precisa el método de "inducción matemática". (Boyer: Historia de las Matemáticas). No obstante hay que recordar que el triángulo de Pascal era conocido desde mucho antes. Las primeras referencias del triángulo corresponden a China, donde está constatado que el triángulo era conocido alrededor de 1100. En relación con el triángulo de Pascal se suelen citar al matemático chino Yang Hui, del siglo XIII, conocido por haber estudiado algunas de sus propiedades, y al matemático persa Omar Khayyam, del siglo XI-XII, cuyo descubrimiento del triángulo se presume que fue independiente del descubrimiento por parte de los matemáticos chinos). Al final de esta página existen enlaces a las biografías que la universidad de St. Andrews (Escocia) pone a disposición de los interesados.

PROPIEDAD INTERESANTE
En esta página vamos a detenernos en una curiosa propiedad del triángulo de Pascal.
Si consideramos una parte inicial del triángulo (por ejemplo las 20 primeras filas) y coloreamos las casillas correspondientes a los números pares, se observa una estructura regular que nos recuerda el famoso triángulo de Sierpinski. Si aumentamos paulatinamente el número de filas conservando el tamaño externo del triángulo de Pascal, el parecido se hace más patente y podemos convencernos de que los sucesivos triángulos de Pascal coloreados y con un número de filas cada vez mayor se aproximan (convergen) al triángulo de Sierpinski.
El primer applet de esta página muestra inicialmente las primeras filas del triángulo de Pascal. Se puede aumentar el número de filas y se puede elegir entre colorear los números pares o no colorearlos. Cuando se elige colorear se observa perfectamente que al ir aumentando el número de filas el objeto resultante se va aproximando al triángulo de Sierpinski.
El segundo applet es algo distinto. Está diseñado para mostrar otro tipo de regularidad que se da en el triángulo de Pascal. Aquí podemos elegir entre tres números: 3, 5 y 7, y se pueden colorear los números en función del resto obtenido al dividirlos entre 3, 5 ó 7. Exite también la posibilidad ("Divisibles") de colorear sólo los números combinatorios que son divisibles entre 3, 5 ó 7. Es decir, si elegimos el número 3 el applet divide los números del triángulo entre 3, y dependiendo de la opción elegida ("Colorear" o "Divisibles") colorea en función del resto obtenido (0, 1 ó 2) o bien colorea solamente los múltiplos de 3.. También se ver la parte del triángulo elegida sin colorear nada ("Colores No").

 

 

APPLET-TRIÁNGULO DE PASCAL-1

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APPLET-TRIÁNGULO DE PASCAL-2

 

TRIÁNGULO DE SIERPINSKI
El triángulo de Sierpinski es un famoso conjunto geométrico introducido por el célebre matemático polaco Waclack Sierpinski (1882-1969). Se trata de un fractal determinístico que se puede generar de diversas formas. La más usual consiste en partir de un triángulo equilátero, marcar los puntos medios de sus lados y extraer el triángulo interior (considerado como conjunto abierto). Se repite el proceso con los tres triángulos que quedan y así sucesivamente (formalmente el triángulo de Sierpinski se define como la intersección de los conjuntos cerrados que van apareciendo en cada etapa):

 


TRES PRIMERAS ETAPAS DE LA CONSTRUCCIÓN DEL TRIÁNGULO

 


CUARTA ETAPA DE LA CONSTRUCCIÓN DEL TRIÁNGULO DE SIERPINSKI

El triángulo de Sierpinski posee algunas propiedades importantes. Se trata de un conjunto formado por infinitos puntos (conjunto infinito no numerable). No existe ningún rectángulo abierto ("abierto" = no se consideran sus bordes), por pequeño que sea, que contenga únicamente puntos del triángulo de Sierpinski.
El conjunto de Sierpinski, junto con la aparición de otros conjuntos geométricos "patológicos" como el conjunto de Cantor, la curva de Peano, la curva de Hilbert, la curva de Koch obligaron a los matemáticos de principios de siglo a desarrollar conceptos nuevos y lineas nuevas de investigación (dimensión y medida de una curva o de un conjunto, autosemejanza, recursividad, sistemas de funciones iteradas, atractores, caos). Todo este conjunto de nuevas ideas fue unificado en los años setenta por Benoit Mandelbrot . A él se debe el concepto de fractal y la presentación de nuevos métodos para el estudio de conjuntos geométricos más "reales" y "complicados" que los conjuntos "ideales" propios de la Geometría Euclídea.

ACTIVIDADES DIDÁCTICAS:
1. ¿Cuántos triángulos se retiran en cada etapa? (En la primera: 1,.en la segunda 3,...).
2.Calcula el área de triángulos que vamos retirando en cada etapa
3. ¿Cuál es el área del triángulo de Sierpinski?
4. Juego del caos: En una cartulina grande marca los vértices de un triángulo equilátero y numéralos (1, 2, 3). Elige un punto arbitrario del plano como punto inicial. Tira un dado y si obtienes un 1 ó un 2 dibuja el punto medio del segmento determinado por el punto inicial y el vértice 1. Si obtienes con el dado un 3 ó un 4 haz lo mismo pero utilizando el vértice 2. Si obtienenes un 5 ó un 6 lo mismo pero con el vértice 3. Repite la experiencia con el punto que has obtenido en la primera tirada del dado y continúa aplicando el mismo proceso a los puntos que vayas obteniendo. Cuando tengas un número grande de puntos observa el dibujo. Al conjunto de puntos obtenido se le llama órbita del punto inicial.¿A qué figura se aproxima el dibujo? El objeto ideal al que se aproxima el dibujo se llama atractor del experimento.
La primera vez que leí algo sobre este experimento lo hice en una excelente página del conocido profesor Robert Devaney de la Universidad de Boston. Allí planteaba una serie de actividades didácticas dirigidas a profesores, y, entre otras cosas, sugería realizar la práctica por grupos, dibujando las órbitas sobre transparencias que contuvieran el mismo triángulo inicial, para luego al final superponerlas , proyectar con un retroproyector y observar el resultado.
En su
página actual presenta diversas informaciones interesantes relacionadas con el triángulo de Sierpinski y con los "sistemas dinámicos" y el "caos". Merece la pena visitarla.
Con el programa "DERIVE" puedes dibujar una aproximación del triángulo de Sierpinski utilizando el algoritmo del juego del caos. Los vértices del triángulos serán, por ejemplo, los puntos [0, 0], [100, 0] y [50, 86.6] y únicamente se necesita definir tres funciones:
#1. siguiente_vertice(x):=if(x<1/3,[0, 0], if(x<2/3,[100, 0],[50, 86.6]))
#2. siguiente_punto(x):=(x+siguiente_vertice(random(1)))/2
#3. calcula_orbita(punto_inicial, nr_elementos_orbita) := iterates(siguiente_punto(x), x, punto_inicial, nr_elementos_orbita)
#4. (por ejemplo) calcula_orbita([38,78], 300)
y ahora calculamos la expresión #4 con cálculo aprox. y después dibujamos los 300 puntos de la órbita obtenida con las opciones "tamaño punto" = "pequeño" o "mediano" y con "unir" = "no" (conected = no). Los puntos esbozan la imagen del atractor. Si queremos más puntos basta volver a utilizar calcula_orbita aplicado al último punto de la orbita que hayamos calculado hasta el momento. Es conveniente no dibujar los primeros elementos de la órbita. El número de puntos de la órbita que se puede calcular depende de la potencia de tu ordenador. (En mi Pentium-120 con 32 megas de Ram se calculan órbitas de 500 elementos sin dificultad).

IMAGEN del TRIÁNGULO DE SIERPINSKI OBTENIDA CON DERIVE:


Con el programa "Cabri" también puedes dibujar una aproximación del triángulo de Sierpinski utilizando el procedimiento consistente en extraer un triángulo del centro de otro (se puede definir una macro....) Los dibujos de las cuatro primeras fases de la construcción del triángulo que aparecen más arriba están hechos con "Cabri". Puedes hacerlo también con
"Dr.Geo" que tiene la ventaja de ser un programa de distribución gratuita (freeware) .
También existe la posibilidad de dibujar el triángulo de Sierpinski utilizando una hoja de cálculo como, por ejemplo, Excel. Es fácil de programar utilizando la idea del juego del caos(si te interesa conocer los detalles, envíame un mensaje). La siguiente imagen del triángulo la he realizado con Excel y se puede mejorar programando una sencilla macro que realice todo el trabajo y además coloree los tres sub-triángulos principales que constituyen el triángulo completo con colores distintos (es lo típico).

IMAGEN del TRIÁNGULO DE SIERPINSKI OBTENIDA CON "EXCEL":


5. Autosemejanzas: describe tres contracciones distintas (centro y factor de contracción) que permiten transformar el triángulo de Sierpinski en una de sus partes (existen tres sub-triángulos principales).
6. Busca información sobre la curva de Koch y el conjunto de Cantor.
7. Busca en Internet información sobre la esponja de Sierpinski (cubo de Sierpinski).

 

Enlace a otras dos páginas en las que hemos colocado dos applet's distintos para generar el triángulo de Sierpinski:

Página1

Página2

 

ENLACES INTERESANTES:


Biografías
En el servidor de la Universidad de St. Andrews (Escocia) puedes encontrar una excelente información biográfica:
Yang Hui:
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Yang.html
Omar Khayyam:
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Khayyam.html
Catalan:
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Catalan.html
Pascal:
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Pascal.html
Sierpinski:
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Sierpinski.html
En el mismo servidor de la Universidad de St. Andrews, en el que se encuentran las biografiás anteriores, se puede buscar información sobre Mandelbrot.

 


Bibliografía:


0. ÍNDICE GENERAL

1. CIRCUNFERENCIA DE LOS NUEVE PUNTOS
2. PUNTO DE FERMAT
3. TRIÁNGULO ÓRTICO
4. TRIÁNGULO DE MORLEY
5. TEOREMA DE CEVA
6. RECTA DE SIMSON
7.RECTA DE EULER
8. TRIÁNGULOS DE NAPOLEÓN
9.TEOREMA DE LAs BISECTRICES
10. CIRCUNFERENCIA DE APOLONIO
11-12. HIPOCICLOIDES Y EPICICLOIDES
13.CUADRATURA DE UN RECTÁNGULO
14.TRIÁNGULO DE PASCAL Y TRIÁNGULO DE SIERPINSKI
15.TEOREMA DE BOLZANO
16. ESPIRAL DE TEODORO
17. ELIPSE CON APPLET'S


Página diseñada por: Carlos Fleitas (Departamento de Matemáticas I.E.S. "Marqués de Santillana" Colmenar Viejo, Madrid)