ALGUNOS RESULTADOS GEOMÉTRICOS CLÁSICOS
3. TRIÁNGULO ÓRTICO
Un problema geométrico clásico consiste en
construir el triángulo de perímetro mínimo
inscrito en un triángulo acutángulo. Es decir, de todos los
triángulos (KLM) cuyos vértices están sobre los tres lados de
un triángulo acutángulo ABC nos interesa obtener el que tenga
perímetro mínimo.
En primer lugar utilizaremos un applet para experimentar, y
después, otro para profundizar un poco más en el asunto. El que
viene a continuación te ayudará a comprender el problema.
Puedes mover los vértices K, L y M y observarás como cambia el
perímetro.
Una buena estrategia para situar el problema utilizando el applet anterior, podría consistir en variar sólo el punto K, minimizando todo lo posible el perímetro. Después, sin cambiar el punto K que hayas obtenido, mueve L hasta que consigas un valor del perímetro menor. Por último, sin cambiar ni K, ni L, modifica la posición de M con el mismo fin. A continuación puedes modificar un poco la posición de K para afinar un poco más, es decir para que el perímetro sea todavía un poco menor, y repites con L y con M. Después de dos o tres vueltas deberías tener dibujado el triángulo que cumple la propiedad.
Después de haber experimentado con el applet
anterior utilizaremos el siguiente para enfocar el asunto de una
forma más técnica. Dibujaremos el punto K1,
simétrico de K respecto de la recta determinada por A y por C.
Análogamente el punto K2 es el simétrico de K
respecto de la recta determinada por C y por B.
Por la forma en que hemos construido K1 y K2,
observamos que la longitud del segmento KM coincide con la de su
simétrico: K1M. También, por idéntico motivo, las
longitudes KL y LK2 coinciden. Por ello el perímetro
del triángulo inscrito KM+ML+LK es igual a K1M+ML+LK2.
Esta suma no es más que la longitud de la línea quebrada: K1MLK2.
Vamos a fijarnos ahora en el triángulo CK1K2.
Se trata de un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden CK
(¿por qué?). Además, aunque cambiemos la posición de K, el
ángulo <K1CK2 es siempre el mismo. Su valor es
siempre el doble del ángulo <ACB (¿por qué?). Deducimos de
esta forma que el triángulo K1CK2 es
isósceles y que además su ángulo en C es siempre el mismo.
Si ahora dejamos que el punto K quede fijo en alguna posición
del segmento AB el perímetro del triángulo inscrito será la
longitud de la quebrada K1MLK2. Su longitud
será mínima cuando se trate de un segmento rectilíneo, en cuyo
caso su longitud será la de la base del triángulo isósceles K1CK2.
Pero, al ir variando la posición del punto K ¿cuándo será la
base de ese triángulo mínima? El ángulo <K1CK2
siempre es el mismo. Por ello la base del triángulo será
mínima cuando lo sea la longitud de sus lados iguales. Los lados
iguales miden lo mismo que CK, por lo que la pregunta que hay que
contestar es: ¿cuándo será mínima la longitud CK?
Evidentemente será mínima cuando CK sea la altura, es decir
cuando el punto K sea el pie de la altura sobre AB.
El mismo razonamiento aplicado a los puntos L y M nos permite
afirmar que el triángulo que cumple la condición de perímetro
mínimo es el determinado por los pies de las alturas. Ese
triángulo, solución del problema, se conoce con el nombre de triángulo
órtico.
segundo:
Bibliografía:
Coxeter: Introduction to Geometry (John Wiley & Sons)
Rademacher y Toeplitz: Números y figuras (Alianza Editorial)
1.
CIRCUNFERENCIA DE LOS NUEVE PUNTOS
2.
PUNTO DE FERMAT
3. TRIÁNGULO ÓRTICO
4.
TRIÁNGULO DE MORLEY
5.
TEOREMA DE CEVA
6.
RECTA DE SIMSON
7.RECTA
DE EULER
8.
TRIÁNGULOS DE NAPOLEÓN
9.TEOREMA
DE LAs BISECTRICES
10.
CIRCUNFERENCIA DE APOLONIO
11-12.
HIPOCICLOIDES Y EPICICLOIDES
13.CUADRATURA
DE UN RECTÁNGULO
14.TRIÁNGULO
DE PASCAL Y TRIÁNGULO DE SIERPINSKI
15.TEOREMA
DE BOLZANO
16.
ESPIRAL DE TEODORO
17.
ELIPSE CON APPLET'S
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