ESPIRAL DE TEODORO DE CIRENE
Teodoro de Cirene (465 a.C.-398 a.C.) enseñó
Matemáticas a Platón (427 a-C.-347 a.C.). A pesar de que sus
obras se han perdido, sabemos por Platón (Diálogo:
"Teeteto" (Theaetetus)) que demostró la irracionalidad
de las longitudes 
.
La espiral que aparece arriba se conoce con el
nombre de "espiral de Teodoro" y constituye un método
para construir geométricamente los segmentos de longitud 
.
El segmento horizontal inicial es un
segmento de longitud igual a la unidad, igual que los segmentos
perpendiculares que se van añadiendo. Del teorema de Pitágoras
se deduce que la longitud de los segmentos radiales es la
indicada: .
No hay constancia de que Teodoro
de Cirene dibujara la espiral pero sí se sabe que demostró la
irracionalidad de los segmentos de longitudes y la espiral, debido a su simplicidad y belleza,
aparece reproducida en numerosos libros de texto. Aquí raíz cuadrada de 3
significa longitud del lado del cuadrado de área 3 e
irracionalidad significa inconmensurabilidad de esa longitud del
lado con la del lado de un cuadrado de área unidad
(inconmensurabilidad = inexistencia de un segmento que sirva de
medida común a ambos segmentos). Se desconoce la razón por la
que no generalizó el resultado a números mayores y por la que
se detuvo en el caso 17. Algunos autores han conjeturado que no
quiso continuar porque significaba dar otra vuelta y superponer
los dibujos (Paul Nahin: "An Imaginary Tale: The history of 
").
Boyer ("Historia de las
Matemáticas") sostiene que dada la proximidad del
descubrimiento de la irracionalidad de 
por parte de los pitagóricos, demostración clásica
que conocemos por Aristóteles, la de Teodoro podría haber
seguido la misma línea, es decir en la línea de razonamiento
aritmético frente al geométrico.
La versión de Van der Waerden ("Science Awakening") es distinta: supone que Teodoro demostró, de forma geométrica, cada uno de los resultados por separado y que se detuvo al llegar a 17 porque la demostración concreta para 19 era más complicada, mientras que la de 18 no ofrecía interés por reducirse a la de casos anteriores (raiz(18) = 3 raiz(2)). En el texto indicado muestra la supuesta demostración que podría haber seguido Teodoro para los casos mencionados. En dichas demostraciones el método se habría basado en el principio de inconmensurabilidad expuesto en la proposición X.2 de los "Elementos" de Euclides (Si dadas dos magnitudes distintas a la mayor de ambas se le resta continuamente la más pequeña, y la parte restante nunca mide a la anterior, entonces las magnitudes son inconmensurables).
En el diálogo "Teeteto", dedicado a honrar la memoria de Teeteto tras su muerte (369 a.C.) como consecuencia de una enfermedad y de las heridas sufridas en el campo de batalla, Platón expone cómo fue este último, también discípulo de Teodoro, quien generalizó el resultado a longitudes de lados de cuadrados de áreas conmensurables pero no correspondientes a cuadrados perfectos. Se le atribuyen las proposiciones iniciales del libro X, siendo en X.9 donde aparece el resultado general mencionado.
El siguiente applet permite dibujar la espiral de Teodoro con un número de lados comprendido entre 1 y 99, permite cambiar el tamaño, y el botón "Limpiar" sirve para regenerar el último dibujo si éste se ensucia o se presenta borroso.
ESPIRAL
DE TEODORO
Biografía de Teodoro de Cirene (Universidad de St.
Andrews, Escocia):
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Theodorus.html
Bibliografía:
Van der Waerden: Science Awakening
0. ÍNDICE GENERAL (PÁG. PRINCIPAL DEL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS)
1.
CIRCUNFERENCIA DE LOS NUEVE PUNTOS
2.
PUNTO DE FERMAT
3.
TRIÁNGULO ÓRTICO
4.
TRIÁNGULO DE MORLEY
5.
TEOREMA DE CEVA
6.
RECTA DE SIMSON
7.RECTA
DE EULER
8.
TRIÁNGULOS DE NAPOLEÓN
9.TEOREMA
DE LAs BISECTRICES
10.
CIRCUNFERENCIA DE APOLONIO
11-12.
HIPOCICLOIDES Y EPICICLOIDES
13.CUADRATURA
DE UN RECTÁNGULO
14.TRIÁNGULO
DE PASCAL Y TRIÁNGULO DE SIERPINSKI
15.TEOREMA
DE BOLZANO
16. ESPIRAL DE TEODORO
17.
ELIPSE CON APPLET'S
Página diseñada por: Carlos Fleitas (Departamento de Matemáticas I.E.S. "Marqués de Santillana" Colmenar Viejo, Madrid)