ALGUNOS RESULTADOS GEOMÉTRICOS CLÁSICOS
8. TEOREMA DE NAPOLEÓN
Si en un triángulo ABC se construyen triángulos equiláteros exteriores sobre sus lados, los centros de dichos triángulos equiláteros determinan un triángulo equilátero (O1O2 O3) conocido como triángulo de Napoleón exterior.
Analogamente si se construyen sobre los lados del triángulo ABC triángulos equiláteros interiores, sus centros también determinan un triángulo equilátero (P1P2P3) conocido como triángulo de Napoleón interior .
Existe una interesante propiedad que relaciona las áreas de los tres triángulos: El área del triángulo ABC es igual a la diferencia de las áreas de los triángulos de Napoleón exterior e interior .
(Parece ser que Napoleón era aficionado a la Geometría y alguno de los resultados anteriores le ha sido atribuido. En cualquier caso no está muy claro que sus conocimientos geométricos fueran suficientes para llegar a establecer los resultados descritos.)
Triángulo de Napoleón exterior:
Triángulo de Napoleón interior:
DEMOSTRACIÓN:
1. Se considera un triángulo ABC, sobre
cuyos lados se han construido tres triángulos ABT, BCS y CAR de
forma que los ángulos R, T y S sumen 180º. Entonces las tres
circunferencias circunscritas a los tres triángulos (ABT, BCS y
CAR) se cortan en un punto (F).
Si consideramos las circunferencias circunscritas
a los triángulos ABT y BCS observamos que se cortan en B y en
otro punto F. (Si sólo se cortaran en B, resultaría que A, B y
C estarían alineados). Se cumple (por ser ABFT un cuadrilátero
inscrito en una circunferencia) <ABF=180º - <T. Por
idéntico motivo: <BFC= 180º - <S. Resulta así:
<AFC = 360º - (<ABF +< BFC) = 360º - (180º - <T +
180º - <S) = <T + <S = 180º - <R. Por tanto A, F, C
y R están sobre una misma circunferencia y F es el punto de
intersección de las tres circunferencias circunscritas.
2. Se considera un triángulo ABC, sobre cuyos lados se han construido tres triángulos ABT, BCS y CAR de forma que los ángulos R, T y S sumen 180º. Entonces el triángulo (O1O2O3) formado por los circuncentros de los tres triángulos cumple: <O1=<R, <O2=<S y <O3=<T.
O3O2 y O3O1 son perpendiculares a los ejes radicales FB y AF . Por ello el cuadrilátero PFQO3 es inscriptible en una circunferencia (los ángulos en P y en Q suman 180º) y deducimos que O3= 180º - <AFB. Por otra parte (fijarse en el cuadrilátero TAFB inscrito en una circunferencia) sabemos que <T = 180º - <AFB. Comparando las dos últimas igualdades queda claro que <O3 = <T.
3. Si sobre los lados de un triángulo
construimos triángulos equiláteros exteriores, resulta que el
triángulo formado por sus centros también es equilátero
(triángulo de Napoleón exterior).
Es consecuencia del apartado anterior (2.)
4. Si sobre los lados de un triángulo
construimos triángulos equiláteros interiores, resulta que el
triángulo formado por sus centros también es equilátero
(triángulo de Napoleón interior).
Ver conclusiónes del apartado siguiente (5.)
5. El área de un triángulo es igual a la diferencia de las áreas de sus triángulos de Napoleón.
Consideremos el triángulo O1CO2.
Los lados =O1C y O2C miden,
respectivamente, b/
y
a/(son los radios de las
circunferencias circunscritas a triángulos equiláteros de
radios b y c, respectivamente). El ángulo <O1CO2
mide: 30º+<C+30º, es decir <C+60º. Aplicando el teorema
del coseno tenemos: (O1O2)2 = (a2+b2)/3
- 2/3ab·cos(C+60º).
Concentrémonos ahora en el triángulo P1CP2,
donde P1 y P2 son centros de dos de los
triángulos de Napoleón internos y no olvidemos que dichos
puntos se pueden obtener a partir de O1 y O2
aplicando una simetría axial respecto a los lados CA yCB,
respectivamente. Por ello CP1= CO1 = b/ y CP2 = CO2 = a/. El ángulo P1CP2 mide
C-60º. Aplicando el teorema del coseno tenemos: (P1P2)2
= (a2+b2)/3 - 2/3ab·cos(C-60º).
Restando las dos igualdades:
(O1O2)2 - (P1P2)2=2/3ab[cos(C-60º)
- cos(C+60º)] = 4/3ab[sen(C)sen(60º)]=
2/3ab·sen(C)=2/ab·sen(C)
= 4/área(ABC).
Del resultado anterior se deduce inmediatamente que el
triángulo interior de Napoleón también es equilátero
( el área(ABC) es constante y los lados OiOj
son iguales).
Además: /4(O1O2)2
- /4(P1P2)2
= área (ABC) es precisamente:
área(O1O2O3)
- área(P1P2P3)
= área(ABC).
BIBLIOGRAFÍA: "Retorno a
la Geometría" de Coxeter y Greitzler, colección "La
tortuga de Aquiles"
0. ÍNDICE GENERAL (PÁG. PRINCIPAL DEL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS)
1.
CIRCUNFERENCIA DE LOS NUEVE PUNTOS
2.
PUNTO DE FERMAT
3.
TRIÁNGULO ÓRTICO
4.
TRIÁNGULO DE MORLEY
5.
TEOREMA DE CEVA
6.
RECTA DE SIMSON
7.RECTA
DE EULER
8. TRIÁNGULOS DE NAPOLEÓN
9.TEOREMA
DE LAs BISECTRICES
10.
CIRCUNFERENCIA DE APOLONIO
11-12.
HIPOCICLOIDES Y EPICICLOIDES
13.CUADRATURA
DE UN RECTÁNGULO
14.TRIÁNGULO
DE PASCAL Y TRIÁNGULO DE SIERPINSKI
15.TEOREMA
DE BOLZANO
16. ESPIRAL DE
TEODORO
17.
ELIPSE CON APPLET'S
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Santillana" Colmenar Viejo, Madrid)