ALGUNOS RESULTADOS GEOMÉTRICOS CLÁSICOS
2. PUNTO DE FERMAT DE UN TRIÁNGULO:
Se trata de un problema de optimización
propuesto por Pierre Fermat (1601-1665).
Se considera un triángulo acutángulo ABC (en color rojo) y un
punto P interior. Consideramos la suma de las longitudes de los
segmentos trazados desde el punto a los tres vértices. Se trata
de encontrar el punto para el cual la suma anterior es mínima.
Dicho punto se conoce como punto de Fermat del triángulo.
El siguiente applet pretende analizar el asunto
experimentalmente.
Los primeros dos controles de la parte inferior permiten
modificar la posición del punto P. En la parte superior derecha
podrás ver el valor de la suma, y, tanteando, podrás localizar
la posición aproximada del punto P que resuelve el problema. Los
otros cuatro controles permiten modificar las coordenadas de los
vértices B y C del triángulo. Experimenta un poco, y después
analizaremos la situación con más detalle:
PUNTO DE FERMAT-1:
En el siguiente applet hemos construido un triángulo equilátero exterior (ACB1) sobre el lado AC y además hemos girado el punto P 60º alrededor de A, obteniendo así el punto P1. El punto B1 también podemos considerar que se ha obtenido girando el punto C 60º alrededor de A.
PUNTO DE FERMAT-2:
No será difícil convencerse de algunos resultados:
El segmento PC mide lo mismo que el segmento P1B1, ya que este último se obtiene girando el primer segmento 60º alrededor de A;
El segmento AP mide lo mismo que el segmento PP1. Esto se debe a que el triángulo APP1 es equilátero. Es isósceles ya que AP y AP1 miden lo mismo, y el ángulo en A mide 60º por la forma en la que hemos obtenido P1. Como los otros dos ángulos tienen que ser iguales y además sumar 180º-60º = 120º, resulta que cada uno mide 60º y, por ello, se trata de un triángulo equilátero.
La suma que deseamos minimizar:
PC+PA+PB coincide con la suma: B1P1+P1P+PB,
es decir con la línea quebrada que une B1
(que es independiente del punto P, puesto que se obtiene
construyendo unt triángulo equilátero sobre el lado AC)
con B pasando por P1 y por P.
¿Cuándo será mínima dicha longitud? Evidentemente
cuando la línea quebrada sea rectilínea . Es decir
cuando el punto P se encuentre sobre el segmento B1B
Pero ¿será posible encontrar un punto P sobre el
segmento B1B, de forma que B1,P1,P
y B estén alineados? Evidentemente ese punto P existe y
es precisamente el punto de dicho segmento para el que el
ángulo <APB mide 120º y el ángulo <APB1
mide 60º.
Como el mismo razonamiento se podría haber realizado
construyendo el triángulo equilátero sobre los otros dos lados
del triángulo, tenemos que:
El punto P, llamado punto de Fermat, se obtiene como
intersección de los tres segmentos determinados por los
vértices del triángulo ABC y los vértices exteriores de los
triángulos equiláteros construidos sobre los lados opuestos.
Bibliografía:
Coxeter: Introduction to Geometry (Wiley & Sons)
0. ÍNDICE GENERAL (PÁG. PRINCIPAL DEL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS)
1.
CIRCUNFERENCIA DE LOS NUEVE PUNTOS
2. PUNTO DE FERMAT
3.
TRIÁNGULO ÓRTICO
4.
TRIÁNGULO DE MORLEY
5.
TEOREMA DE CEVA
6.
RECTA DE SIMSON
7.RECTA
DE EULER
8.
TRIÁNGULOS DE NAPOLEÓN
9.TEOREMA
DE LAs BISECTRICES
10.
CIRCUNFERENCIA DE APOLONIO
11-12.
HIPOCICLOIDES Y EPICICLOIDES
13.CUADRATURA
DE UN RECTÁNGULO
14.TRIÁNGULO
DE PASCAL Y TRIÁNGULO DE SIERPINSKI
15.TEOREMA
DE BOLZANO
16.
ESPIRAL DE TEODORO
17.
ELIPSE CON APPLET'S
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Santillana" Colmenar Viejo, Madrid)