ALGUNOS RESULTADOS GEOMÉTRICOS CLÁSICOS

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7. RECTA DE EULER:

En todo triángulo no equilátero el ortocentro (O), el baricentro (G) y el circuncentro (K) están alineados, y, además, se cumple la relación métrica: OG = 2·GK. La recta que los contiene se conoce como recta de Euler (1707-1783).

Es muy sencillo comprobar este teorema utilizando Cabri o DR.GEO. (Para los alumnos es un ejercicio divertido)
El siguiente applet (el primero que he diseñado yo mismo, y, desde luego, mejorable) permite comprobar la situación partiendo de un triángulo ABC, en el que la colocación del vértice C se puede cambiar a otra posición sin más que pinchar con el ratón. El dibujo se actualiza inmediatamente, pero no conviene utilizar posiciones de C muy alejadas de la inicial, porque el ortocentro fácilmente cae fuera del applet y se pierde la visión de conjunto.

 

DEMOSTRACIÓN:
Consideremos la posición inicial del triángulo ABC (para volver a ella pulsar el botón: "actualizar" del navegador). Llamaremos recta de Euler, de momento, a la que contiene al circuncentro K y al baricentro G. Si aplicamos una homotecia de centro G y razón -2 al triángulo MKG, obtenemos el triángulo GCO (al duplicar la longitud de los lados, el punto M se transforma en el vértice C). El triángulo GCO obtenido es semejante al MKG y, por ser la razón de semejanza 2, tenemos que OG= 2·GK. Por otra parte OC y MK son paralelos (una homotecia transforma lineas que no pasan por el centro de la misma en lineas paralelas). Resumiendo, resulta que OC es perpendicular a la base AB y que el punto O está situado sobre la recta de Euler a una distancia de G doble que la que separa al circuncentro K de G.
Si repitieramos el mismo razonamiento con las otras alturas del triángulo ABC obtendríamos, de la misma forma, que cortan a la recta de Euler en el mismo punto, de lo que deducimos que el ortocentro del triángulo ABC es precisamente O.

 

 


 

0. ÍNDICE GENERAL (PÁG. PRINCIPAL DEL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS)

1. CIRCUNFERENCIA DE LOS NUEVE PUNTOS
2. PUNTO DE FERMAT
3. TRIÁNGULO ÓRTICO
4. TRIÁNGULO DE MORLEY
5. TEOREMA DE CEVA
6. RECTA DE SIMSON
7.RECTA DE EULER
8. TRIÁNGULOS DE NAPOLEÓN
9.TEOREMA DE LAs BISECTRICES
10. CIRCUNFERENCIA DE APOLONIO
11-12. HIPOCICLOIDES Y EPICICLOIDES
13.CUADRATURA DE UN RECTÁNGULO
14.TRIÁNGULO DE PASCAL Y TRIÁNGULO DE SIERPINSKI
15.TEOREMA DE BOLZANO
16. ESPIRAL DE TEODORO
17. ELIPSE CON APPLET'S


Página diseñada por: Carlos Fleitas (Departamento de Matemáticas I.E.S. "Marqués de Santillana" Colmenar Viejo, Madrid)