ALGUNOS RESULTADOS GEOMÉTRICOS CLÁSICOS
7. RECTA DE EULER:
En todo triángulo no equilátero el ortocentro (O), el baricentro (G) y el circuncentro (K) están alineados, y, además, se cumple la relación métrica: OG = 2·GK. La recta que los contiene se conoce como recta de Euler (1707-1783).
Es muy sencillo comprobar este
teorema utilizando Cabri o DR.GEO. (Para los alumnos es un ejercicio divertido)
El siguiente applet (el primero que he diseñado yo mismo, y,
desde luego, mejorable) permite comprobar la situación partiendo
de un triángulo ABC, en el que la colocación del vértice C se
puede cambiar a otra posición sin más que pinchar con el
ratón. El dibujo se actualiza inmediatamente, pero no conviene
utilizar posiciones de C muy alejadas de la inicial, porque el
ortocentro fácilmente cae fuera del applet y se pierde la
visión de conjunto.
DEMOSTRACIÓN:
Consideremos la posición inicial del triángulo ABC (para volver
a ella pulsar el botón: "actualizar" del navegador).
Llamaremos recta de Euler, de momento, a la que contiene al
circuncentro K y al baricentro G. Si aplicamos una homotecia de
centro G y razón -2 al triángulo MKG, obtenemos el triángulo
GCO (al duplicar la longitud de los lados, el punto M se
transforma en el vértice C). El triángulo GCO obtenido es
semejante al MKG y, por ser la razón de semejanza 2, tenemos que
OG= 2·GK. Por otra parte OC y MK son paralelos (una homotecia
transforma lineas que no pasan por el centro de la misma en
lineas paralelas). Resumiendo, resulta que OC es perpendicular a
la base AB y que el punto O está situado sobre la recta de Euler
a una distancia de G doble que la que separa al circuncentro K de
G.
Si repitieramos el mismo razonamiento con las otras alturas del
triángulo ABC obtendríamos, de la misma forma, que cortan a la
recta de Euler en el mismo punto, de lo que deducimos que el
ortocentro del triángulo ABC es precisamente O.
0. ÍNDICE GENERAL (PÁG. PRINCIPAL DEL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS)
1.
CIRCUNFERENCIA DE LOS NUEVE PUNTOS
2.
PUNTO DE FERMAT
3.
TRIÁNGULO ÓRTICO
4.
TRIÁNGULO DE MORLEY
5.
TEOREMA DE CEVA
6.
RECTA DE SIMSON
7.RECTA DE EULER
8.
TRIÁNGULOS DE NAPOLEÓN
9.TEOREMA
DE LAs BISECTRICES
10.
CIRCUNFERENCIA DE APOLONIO
11-12.
HIPOCICLOIDES Y EPICICLOIDES
13.CUADRATURA
DE UN RECTÁNGULO
14.TRIÁNGULO
DE PASCAL Y TRIÁNGULO DE SIERPINSKI
15.TEOREMA
DE BOLZANO
16.
ESPIRAL DE TEODORO
17.
ELIPSE CON APPLET'S
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diseñada por: Carlos
Fleitas
(Departamento de Matemáticas I.E.S. "Marqués de
Santillana" Colmenar Viejo, Madrid)