ALGUNOS RESULTADOS GEOMÉTRICOS CLÁSICOS
1. LA CIRCUNFERENCIA DE LOS NUEVE PUNTOS
Para todo triángulo ABC existe una
circunferencia que contiene los puntos medios de los lados, los
pies de las alturas y los puntos medios de los segmentos
determinados por el ortocentro y los tres vértices.
Esta circunferencia se conoce con el nombre de circunferencia de
los "nueve puntos" o de Feuerbach.
El siguiente applet permite observar un triángulo y su
circunferencia de los "nueve puntos".
Los puntos medios de los lados están marcados en color azul, los
pies de las alturas en rojo y los puntos medios de los segmentos
que unen el ortocentro con los vértices en turquesa.
Se pueden modificar las coordenadas de los vértices del
triángulo ABC (utilizando los controles que existen en la parte
inferior del applet) y comprobar que los nueve puntos se
encuentran sobre la misma circunferencia.
CIRCUNFERENCIA DE LOS NUEVE PUNTOS
DEMOSTRACIÓN:
Los puntos P9,P4,P5
y P8 están sobre una misma circunferencia de
diámetro P9P5ya que los ángulos <P9P8P5
y<P9P4P5 son rectos (P9P4
y P8P5 son paralelos y miden lo mismo por
ser paralelas medias de triángulos con la misma base AB; lo
mismo sucede con P9P8 y P4P5
por ser paralelas medias de triángulos con la misma base OC;
además AB y OC son perpendiculares, razón por la cual P9P4P5P8
es un rectángulo).
El mismo razonamiento nos convence de que P9,P2,
P5 y P6 están sobre la misma
circunferencia de diámetro P9P5.
Por último como el ángulo <P2P7P6 es recto y abarca el diámetro P2P6 de la circunferencia, resulta que el punto P7, pie de la altura trazada desde C, también pertenece a la circunferencia anterior. Lo mismo sucede con P1 y P3.
OTRO TEOREMA:
Existe un famoso teorema, conocido como teorema
de Feuerbach, que demuestra que la circunferencia de los nueve
puntos es tangente a la circunferencia inscrita, así como a las
tres circunferencias exinscritas al triángulo.
La demostración no es inmediata y recurre a la transformación
del plano conocida como inversión. No obstante si no te interesa
la demostración y te conformas con realizar una comprobación
puedes utilizar el programa Cabri
II, comercializado por Texas Instruments, o bien, utilizar el
excelente programa Dr.
Geo., de distribución LIBRE, es
decir gratuito.
Bibliografía:
Puig Adam: Geometría Métrica
Coxeter: Introduction to Geometry (Wiley & Sons)
0. ÍNDICE GENERAL (PÁG. PRINCIPAL DEL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS)
1. CIRCUNFERENCIA DE
LOS NUEVE PUNTOS
2.
PUNTO DE FERMAT
3.
TRIÁNGULO ÓRTICO
4.
TRIÁNGULO DE MORLEY
5.
TEOREMA DE CEVA
6.
RECTA DE SIMSON
7.RECTA
DE EULER
8.
TRIÁNGULOS DE NAPOLEÓN
9.TEOREMA
DE LAs BISECTRICES
10.
CIRCUNFERENCIA DE APOLONIO
11-12.
HIPOCICLOIDES Y EPICICLOIDES
13.CUADRATURA
DE UN RECTÁNGULO
14.TRIÁNGULO
DE PASCAL Y TRIÁNGULO DE SIERPINSKI
15.TEOREMA
DE BOLZANO
16.
ESPIRAL DE TEODORO
17.
ELIPSE CON APPLET'S
Página
diseñada por: Carlos
Fleitas
(Departamento de Matemáticas I.E.S. "Marqués de
Santillana" Colmenar Viejo, Madrid)