ALGUNOS RESULTADOS GEOMÉTRICOS CLÁSICOS
5. TEOREMA DE CEVA
Este teorema establece la condición que deben cumplir tres puntos situados sobre los tres lados de un triángulo y no coincidentes con los vértices, para que los segmentos que unen esos puntos con los vértices se corten en un mismo punto.
Teorema de Ceva:
Consideremos un triángulo ABC y tres rectas que pasan cada una
por un vértice distinto del triángulo y que no contienen a los
lados del triángulo. LLamaremos a los puntos de intersección de
esas rectas con los lados K, L y M (ver applet).
La condición necesaria y suficiente para que las tres
rectas se corten en un mismo punto es: (AK/KB)*( BL/LC)*(CM/MA) =
1.
Puedes modificar la posición de los tres puntos K, L y M en el siguiente applet y comprobar así el resultado. Puedes encontrar una demostración elemental después del applet.
Demostración:
Consideremos un triángulo ABC y la recta determinada por C y por
un punto K perteneciente la recta que contiene al lado AB. La
recta CK es el lugar geométrico de los puntos del plano que
cumplen : área CAP/áreaBCP = AK/KB. (La altura
de ambos triángulos es la misma, por lo que la relación de las
áreas queda determinada por la relación entre las longitudes de
las bases. El lugar geométrico está formado por todos los
puntos de la recta excepto K ¿por qué?).
Consideremos ahora el mismo triángulo y las tres rectas determinadas por los vértices y los puntos K, L, M. Cada una de esas rectas, excluyendo los puntos K, L y M, son los lugares geométricos de los puntos P que cumplen respectivamente: área CAP/áreaBCP = AK/KB, áreaABP/áreaCAP = BL/LC y áreaBCP/áreaABP=CM/MA.
Si las tres rectas son concurrentes, (es decir se cortan en un
mismo punto P), se cumplen simultáneamente las tres igualdades
anteriores para el punto P. Se debe cumplir también el resultado
obtenido al multiplicarlas miembro a miembro, es decir:
1= (AK/KB)*( BL/LC)*(CM/MA).
Analogamente si se cumple la igualdad anterior las tres rectas
son concurrentes:
Consideremos las dos rectas AL y BM, y designemos a su punto de
intersección por P (¿siempre se cortan en un punto?). De la
igualdad se deduce que
MA/CM=(AK/KB)*(BL/LC) . De aquí obtenemos
MA/CM=(áreaCAP/áreaBCP)*(áreaABP/áreaCAP)=áreaABP/áreaBCP.
Resulta así que el punto P cumple: CM/MA= áreaBCP/áreaABP, lo
que significa que el punto P también se encuentra sobre la recta
CK.
Observación:
Las longitudes que intervienen en las expresiones anteriores se
consideran orientadas, es decir que el cociente: AK/KB tendrá
signo positivo o negativo dependiendo de que el punto K sea
interior o exterior al segmento AB. Por ello, teóricamente, el
resultado del producto podría ser +1 ó -1. Pero, en la
práctica, o bien, ninguno de los puntos K, L, M es exterior, o
bien, lo son dos de ellos, siendo por ello el resultado siempre
positivo.
Para ver una demostración clásica se puede
consultar: "A Survey of Geometry" de Eves,
editado por "Allyn and Bacon, Inc.".
La demostración expuesta aquí se ha tomado del ameno y
excelente libro "Rectas y Curvas" de Vasiliev y
Gutenmajer (editorial MIR, Moscú).
0. ÍNDICE GENERAL (PÁG. PRINCIPAL DEL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS)
1.
CIRCUNFERENCIA DE LOS NUEVE PUNTOS
2.
PUNTO DE FERMAT
3.
TRIÁNGULO ÓRTICO
4.
TRIÁNGULO DE MORLEY
5. TEOREMA DE CEVA
6.
RECTA DE SIMSON
7.RECTA
DE EULER
8.
TRIÁNGULOS DE NAPOLEÓN
9.TEOREMA
DE LAs BISECTRICES
10.
CIRCUNFERENCIA DE APOLONIO
11-12.
HIPOCICLOIDES Y EPICICLOIDES
13.CUADRATURA
DE UN RECTÁNGULO
14.TRIÁNGULO
DE PASCAL Y TRIÁNGULO DE SIERPINSKI
15.TEOREMA
DE BOLZANO
16.
ESPIRAL DE TEODORO
17.
ELIPSE CON APPLET'S
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Santillana" Colmenar Viejo, Madrid)