ALGUNOS RESULTADOS GEOMÉTRICOS CLÁSICOS

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9.TEOREMA DE LAS BISECTRICES

Si en un triángulo ABC consideramos el punto de intersección P de la bisectriz interior del ángulo C con el lado opuesto se cumple: AP/PB = CA/CB.
Si Q es el punto de intersección de la bisectriz exterior correspondiente al vértice C con la prolongación del lado AB tenemos: AQ/QB = CA/CB. De ambas igualdades obtenemos: AP/PB = AQ/QB.
Demostración:
Se cumple que área(APC)/área(PBC) = AP/PB , ya que las alturas de ambos triángulos coinciden.
Si ahora consideramos ambos triángulos apoyados sobre los lados CA y CB, respectivamente, y tenemos en cuenta que en ese caso las alturas son las distancias desde el punto B a las bases y que, por estar B sobre la bisectriz, esas alturas son iguales, tenemos también: área(APC)/área(PBC) = CA/CB.
De las dos expresiones anteriores obtenemos: AP/PB = CA/CB.
Un razonamiento idéntico aplicado a los triángulos CAQ y CBQ nos convence de:
AQ/QB = CA/CB.
De ambas igualdades se deduce que: CA/CB = AP/PB = AQ/BQ

Teorema de las bisectrices y cuaterna armónica
En las igualdades anteriores hemos considerado todas las longitudes positivas, que es la forma en la que el teorema interesa cuando se pretende utilizar para resolver problemas geométricos prácticos.
Si consideramos los segmentos orientados, es decir con signo positivo o negativo según la alineación de todos los puntos respecto a uno que se toma como referencia, también se cumple la igualdad AP/PB = AQ/BQ. Cuando dos puntos P y Q cumplen la igualdad anterior, se dice que P y Q dividen al segmento AB armónicamente o que los cuatro puntos constituyen una cuaterna armónica.
(Muchas veces se escribe la igualdad anterior de forma equivalente del siguiente modo: AP/PB = - AQ/QB) .
La cuaterna armónica y la circunferencia de Apolonio serán tratadas en otra página que añadiremos en breve.
En cualquier caso lo que queda establecido por el teorema de las bisectrices es que las dos bisectrices de un ángulo (C) de un triángulo determinan sobre la recta que contiene al lado opuesto dos puntos que separan armónicamente a los otros dos vértices (A y B).

Teorema de las bisectrices, cuaterna armónica e "inversión":
El teorema de las bisectrices nos permitió establecer que los puntos A,B, P y Q constituyen una cuaterna armónica: AP/PB = AQ/BQ.
Vamos a considerar ahora la circunferencia que contiene a A y a B y cuyo centro O está sobre la recta que contiene a los cuatro puntos (ver applet siguiente).
Si llamamos R al radio de dicha circunferencia , tenemos: R = AO = OB (los segmentos se consideran orientados).
La igualdad AP/PB = AQ/BQ se puede escribir: (R+OP)/(R-OP) = (OQ+R)/(OQ-R) , de donde R·OQ - R2 + OP·OQ -R·OP = R·OQ + R2 - OP·OQ - R·OP.
Por tanto: OP·OQ = R2
El resultado anterior se expresa diciendo que los puntos P y Q son inversos respecto de la circunferencia de centro O y que contiene a A y B.
(La inversión es una importante transformación geométrica del plano. Dada una circunferencia de radio R el inverso, respecto a dicha circunferencia, de un punto P distinto del centro O de la circunferencia, es otro punto Q, alineado con O y P, y elegido de forma que se cumpla: OP·OQ = R2 ; como R2 es positivo, P y Q deben estar sobre la semirrecta de origen O)
De la misma forma se puede demostrar que los puntos A y B son inversos respecto de la circunferencia que determinan los puntos P y Q y cuyo centro está en la recta PQ.

 


 

0. ÍNDICE GENERAL (PÁG. PRINCIPAL DEL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS)

1. CIRCUNFERENCIA DE LOS NUEVE PUNTOS
2. PUNTO DE FERMAT
3. TRIÁNGULO ÓRTICO
4. TRIÁNGULO DE MORLEY
5. TEOREMA DE CEVA
6. RECTA DE SIMSON
7.RECTA DE EULER
8. TRIÁNGULOS DE NAPOLEÓN
9.TEOREMA DE LAs BISECTRICES
10. CIRCUNFERENCIA DE APOLONIO
11-12. HIPOCICLOIDES Y EPICICLOIDES
13.CUADRATURA DE UN RECTÁNGULO
14.TRIÁNGULO DE PASCAL Y TRIÁNGULO DE SIERPINSKI
15.TEOREMA DE BOLZANO
16. ESPIRAL DE TEODORO
17. ELIPSE CON APPLET'S


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