ALGUNOS RESULTADOS GEOMÉTRICOS CLÁSICOS
10.CIRCUNFERENCIA DE APOLONIO
1. CIRCUNFERENCIA DE APOLONIO:
Se trata de un famoso problema de lugares
geométricos:
Dados dos puntos A y B se trata de determinar el lugar
geométrico de los puntos del plano P que cumplen: PA/PB = r,
siendo r una constante.
En el caso r = 1 es fácil comprobar que el lugar geométrico
descrito por el punto P es la recta mediatriz del segmento
determinado por A y B.
En el caso general ( r distinto de 1) el lugar geométrico es una
circunferencia de radio "k" cuyo centro está sobre el
segmento AB. Esta circunferencia se conoce con el nombre de circunferencia
de Apolonio de los puntos A y B para la razón r.
Además, se cumple que k2 = OA · OB, lo que significa
que los puntos A y B son inversos respecto de la circunferencia
de Apolonio. Por ello los puntos A, B y los dos puntos M y N que
se obtienen como intersección de la circunferencia de Apolonio
con la recta determinada por A y B constituyen una cuaterna
armónica.
Iremos por partes: el siguiente applet permite observar la
circunferencia de Apolonio correspondiente a los puntos A y B y
un valor de r comprendido entre 1.5 y 4.5. En la parte inferior
del applet se puede modificar la posición del punto B y del
valor de la razón.
CIRCUNFERENCIA DE APOLONIO
Presentamos dos demostraciones distintas, demostración-1 y
demostración-2. La primera es la que utiliza Puig Adam en
"Geometría Métrica", y la segunda es la que expone
Dan Pedoe en "Geometry, a comprehensive course".
2. DEMOSTRACIÓN-1:
a)
Consideremos un punto P, no alineado con A y B, que cumpla la
propiedad. Si consideramos el triángulo APB (ver applet
anterior), sabemos por el teorema de las
bisectrices que si M y N son los puntos en los que las
bisectrices, interna y externa, del ángulo P cortan a la recta
AB, se cumple que r = AP/PB = AM/MB = AN/BN. Resulta así que
para cualquier punto P los puntos M y N son fijos y, además, por
ser MP y PN bisectrices, el ángulo <MPN es recto. Por ello P
está sobre la circunferencia de diámetro MN.
b)
Veamos que todo punto P perteneciente a la circunferencia de
diámetro MN, donde AM/MB = AN/BN = r, cumple: AP/PB = r. La
recta simétrica de PA respecto a PM corta a la recta AB en B',
siendo PM y PN las bisectrices de <APB' (PM por la
construcción realizada, y PN por ser perpendicular a PM). Por el
teorema de la bisectriz sabemos que AP/PB' = AM/MB' = AN/B'N. De
la última igualdad, teniendo en cuenta que AM/MB = AN/BN = r, se
deduce que B' = B. De aquí resulta que AP/PB = r
3. DEMOSTRACIÓN-2:
La demostración consta de dos partes: a) si P cumple la propiedad está sobre la circunferencia mencionada, b) si P es un punto de dicha circunferencia cumple la propiedad PA/PB = r.
a)
Considermos un punto P que cumpla la propiedad del lugar
geométrico y que no esté alineado con A y B (PA/PB = r).
Dibujamos la circunferencia que contiene a A, B y P. Por P
trazamos la recta tangente a dicha circunferencia obteniendo el
punto O como intersección de la tangente con la recta
determinada por A y B. Podemos observar que el ángulo <PAB,
inscrito en la circunferencia, y el ángulo semiinscrito <BPO
son iguales (abarcan el mismo arco de circunferencia). De aquí
deducimos que los triángulos APO y BPO son semejantes ya que
tienen un ángulo común (<O), los ángulos <PAB y <BPO
coinciden y tienen un lado común: PO. Por ello :
OA/OP = OP/OB = AP/PB = r. Multiplicando los dos primeros
miembros de las igualdades anteriores obtenemos: (OA/OP)(OP/OB) =
r2, es decir: OA/OB = r2. Como O es
exterior al segmento AB resulta que O es un punto fijo de la
recta AB, independiente de P. También tenemos que OA · OB es
constante. Si designamos OA · OB por k2 (OA · OB = k2),
tenemos: OP2= k2, por lo que P está sobre
la circunferencia de centro O y radio k.
(Observación: el caso de P alineado con A y B tiene dos
posibilidades que se estudian directamente respecto al punto O
obtenido, y se comprueba que también están sobre la
circunferencia de Apolonio)
b)
Supongamos ahora que un punto P se encuentra situado sobre la
circunferencia de centro O y cumple OP2 = OA · OB. De
aquí obtenemos OP/OB = OA/OP. De la proporcionalidad anterior y
de la igualdad del ángulo en O deducimos que los triángulos OAP
y OBP son semejantes. Por ello: OP/OB = OA/OP = PA/PB = r. Veamos
que r es un valor constante que no depende del punto P de la
circunferencia. Multiplicando los primeros miembros de las
igualdades resulta (OP/OB)(OA/OP) = r2, OA/OB = r2.
Como O, A y B son fijos también lo es r2 y por tanto
también "r".
4.BIBLIOGRAFÍA:
"Geometría Métrica" de Puig Adam
"Geometry, a comprehensive course", de Dan Pedoe, (Ed.
Dover)
5. Si deseas leer algo sobre Apolonio de Perga (nacido a mediados del siglo III a.C.) puedes consultar este enlace que te llevará a una página escrita por Miguel de Guzmán.
0. ÍNDICE GENERAL (PÁG. PRINCIPAL DEL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS)
1.
CIRCUNFERENCIA DE LOS NUEVE PUNTOS
2.
PUNTO DE FERMAT
3.
TRIÁNGULO ÓRTICO
4.
TRIÁNGULO DE MORLEY
5.
TEOREMA DE CEVA
6.
RECTA DE SIMSON
7.RECTA
DE EULER
8.
TRIÁNGULOS DE NAPOLEÓN
9.TEOREMA
DE LAs BISECTRICES
10. CIRCUNFERENCIA DE APOLONIO
11-12.
HIPOCICLOIDES Y EPICICLOIDES
13.CUADRATURA
DE UN RECTÁNGULO
14.TRIÁNGULO
DE PASCAL Y TRIÁNGULO DE SIERPINSKI
15.TEOREMA
DE BOLZANO
16.
ESPIRAL DE TEODORO
17.
ELIPSE CON APPLET'S
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Santillana" Colmenar Viejo, Madrid)