Las Matemáticas en Egipto. Trabajos de Investigación del curso 2006-2007

El Antiguo Egipto es la mayor civilización tecnológica de la antigüedad, el triunfo de la eficiencia y la inteligencia. Se pasa del neolítico a la historia en 2.500 años de acelerados avances técnicos. Los conocimientos científicos de los egipcios, su medicina, sus construcciones, su refinamiento siguen sorprendiendo y atrayendo.

Los egipcios supieron solucionar los problemas que se les planteaban: tras la inundación anual del Nilo, las lindes desaparecían y tenían que volverlas a marcar, las construcciones (pirámides, templos,...), el comercio, los repartos,...

Sus cálculos no eran abstractos, buscaban lo más práctico aunque no tuvieran la resolución y la reflexión teórica que después alcanzarían los griegos. Al contrario que a los matemáticos griegos, no les preocupó la resolución teórica ni la reflexión sobre problemas matemáticos (numéricos, aritméticos o geométricos), sino su inmediata aplicación práctica. Pero, sin embargo, fueron precursores. Los más importantes matemáticos griegos viajaron por Egipto y Babilonia aprendiendo de estos pueblos.

Los egipcios fueron los más notables representantes de la raza camita, una raza africana que constituyó el núcleo de los primeros pueblos mediterráneos, y a la que se le suele asignar la mayor parte de las estirpes y lenguas que no pertenecen a las 2 grandes familias : la indoeuropea y la semita.

La historia del Egipto Antiguo se divide en 3 imperios con intervalos de dominación extranjera y guerras internas.

La decadencia del imperio se dio hacia 1075 a. C., a raíz de las diversas invasiones de otros pueblos, las cuales modificaron la división y extensión del territorio de Egipto.

Era un sistema decimal (de base 10) por yuxtaposición, así sus números se escribían de la siguiente manera:

La unidad básica de superficie era el setat (sTAt) que equivalía a un cuadrado de lado 100 codos, es decir 10000 codos cuadrados. Para superficies menores se empleaban el remen (rmn) (1/2 setat), el hebes (Hbs) (1/4 de setat) y el sa (sA)(1/8 de setat), y además existía una medida llamada jata (xA-tA) que equivalía a 100 setat y se empleaba en grandes mediciones.

La unidad de capacidad era el heqat (HqAt), representado como el Ojo de Horus. Se empleaba para medir el trigo y la cebada fundamentalmente y equivalía a unos 4.8 litros. En mediciones más grandes, por ejemplo para almacenes, se empleaba una unidad que podríamos llamar "100 heqat cuádruples". Cada una de las partes del Ojo de Horus era una fracción de heqat y se conocen como fracciones "Ojo de Horus". La división era, considerando el ojo derecho:

Las cejas equivalían a 1/8, la pupila 1/4, la parte izquierda de la pupila 1/2, la parte derecha de la pupila 1/16, la parte inferior vertical bajo el ojo 1/32 y la parte inferior diagonal del ojo representaba 1/64.

El Oipe o ipet (ipt) contenía 4 heqat, es decir 19.22 litros. 5 Oipes formaban un jar (XAr)(~ 96 litros), es decir un jar eran 20 heqats (en algunos textos he visto la equivalencia a 16 heqats) y a 2/3 de codo cúbico. Una unidad común en la medida de grano era 100 oipes (20 jar). Existía además una unidad llamada Henu (hnw) que aparece en el papiro Rhind definida como 1/10 de heqat, por tanto unos 0.48 litros, empleada en la medición de perfumes normalmente, aunque parece que también se utilizó en medidas de grano. El ro (r) equivalía a 1/320 de heqat. Esta unidad se empleó sólo en medidas de grano. Cuando se medía el grano en heqats se usaban las fracciones ojo de Horus : 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64 y para medidas inferiores a 1/64 de heqat se empleaban mútiplos de ro, de modo que un ro contenía 5 medidas de 1/64 de heqat, y por tanto nunca se utilizaba 1/128 de heqat sino 2 1/2 ro, que era también el término empleado para designar las fracciones. Se empleaba el signo seguido del denominador de la fracción, puesto que sólo se utilizaban fracciones unitarias.

Para medir líquidos se empleaban el Des (ds) o el Secha para la cerveza. Esta última era de muy poco contenido. Para el incienso usaban el Men (mn)y el Hebenet (hbnt). Para el vino se empleaba el Hebenet. No conozco las equivalencias en el SI.

La unidad básica de longitud era el codo o cubit (mH). El codo original medía unos 457 mm. A partir de la III dinastía se tomó como unidad de medida el codo real, que es el codo más un palmo y equivalía a unos 523 mm. Posteriormente, durante el periodo grecorromano se emplearon el codo griego (~ 462,5 mm) y el codo romano (~ 443,5 mm). El codo se dividía en 7 palmos o manos (Ssp). Existían además otras unidades fraccionarias del codo, como el dedo (yeba) que representaba 1/28 de codo, es decir un cuarto de mano. El nebiu era un codo y medio y la vara (jet) o cuerda representaba 100 codos. Para medidas de longitud grandes se empleaba el rio (iteru) equivalente a 10.5 km (unos 20.000 codos), aunque en algunos textos esta unidad aparece como inferior. El demen era una unidad un tanto curiosa; el doble demen equivalía a la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 codo. Sería el equivalente a la raíz cuadrada de 2 codos, es decir 0.739 metros.

La unidad fundamental de peso era el Deben, empleada para intercambios y equivalía a 91 gramos, normalmente de cobre, aunque el valor de los productos podía aparecer expresado en debenes de oro o plata. El qedety era una décima parte de un deben. El Shat o anillo equivalía a medio deben.

Pesu: Unidad que expresa la calidad del pan o la cerveza; se refiere al número de panes fabricados por unidad de peso de grano. Cuanto mayor es el pesu peor calidad tiene el producto fabricado. También se conoce como "fuerza". Se media por el número de unidades que se fabricaban con un heqat. Si con un heqat de grano se fabricaban 20 barras de pan, entonces su pesu era 20.

Shaty: Esta unidad es sólo conocida a través del papiro Rhind. En el problema 62 de este papiro se le asigna un valor de 1/12 de un deben de oro. Un deben de plata contiene 6 shaty y un deben de plomo (?) equivale a 3 shaty.

Seqt: Pendiente de una superficie plana inclinada. En mediciones verticales empleaban el codo y en horizontales la mano, que equivalía a 1/7 del codo. El seqt se daba en manos por codos.

Setat: El setat era una medida de superficie y equivalía a un jet cuadrado, es decir 10.000 codos cuadrados. A veces se emplea el término griego aurora para designar el setat. Además en el papiro Rhind se emplean signos especiales para denotar 1/2, 1/4 y 1/8 de setat, que posiblemente tuvieron nombres especiales.

Gracias a los conocimientos de los egipcios no habrían podido construir las pirámides o medir tierras, etc... la geometría egipcia junto a la babilónica, fue la precursora de la potente geometría griega.

Dominaban perfectamente los triángulos gracias a los anudadores. Los anudadores egipcios hacían nudos igualmente espaciados que servían para medir; fueron los primeros en observar que uniendo con forma de triángulo, cuerdas de ciertas longitudes se obtiene un ángulo recto, también conseguían mediante estos nudos triángulos rectángulos. Pitágoras recogió toda esta experiencia geométrica para su teorema. Es decir, los egipcios ya conocían la relación entre la hipotenusa y los catetos en un triángulo rectángulo. Utilizaban el más tarde se conoció como Teorema de Pitágoras, pero de forma práctica, no sabían demostrarlo.

Entre las fórmulas que tenían para medir áreas, se pueden citar las de superficie del cuadrado (a partir del triángulo), del rectángulo, del rombo y del trapecio. En cuanto al área del círculo utilizaron una fórmula que daba a  un valor bastante aproximado. En el Papiro de Rhind encontramos:

Los papiros nos han dejado constancia de que los egipcios situaban correctamente tres cuerpos geométricos: el cilindro, el tronco de la pirámide y la pirámide

También conocido como el papiro de Ahmes encontrado en las ruinas de Tebas, este fue comprado por Henry Rhind que tras 5 años de su compra murió y ahora este se encuentra el museo británico de Londres.

Este papiro comienza con la frase: “calculo exacto para entrar en el conocimiento de todas las cosas existentes y de todos los oscuros secretos y misterios”.

Algunos datos del papiro: mide 6m de largo y 33cm de ancho y representa la mejor fuente de información matemática egipcia conocida. Esta escrito en hierático y consta de 87 problemas mas su resolución. Este papiro nos da información sobre cuestiones aritméticas básicas, fracciones, calculo de áreas, volúmenes, progresiones, repartos proporcionales, reglas de tres, ecuaciones lineales, y trigonometría básica. ( aunque en el papiro también aparecen algunos errores) su escritura parece Ahmes.

No se conoce el objetivo del papiro algunos piensan que son claras intenciones pedagógicas o un cuaderno de notas de algún alumno, aunque para nosotros representa una guía de matemáticas del antiguo Egipto.

En el papiro antes de proponer el problema da una tabla de descomposición de n/10 para N=1...9 para facilitar calculos y otra en la que se expresan todas las fracciones del numerador 2 y denominador impar entre 5 y 101 como suma de fracciones unitarias.

5	3,15	53	30,318,795
7	4,28	55	30,330
9	6,18	57	38,114
11	6,66	59	36,236,531
13	8,52,104	61	40,244,488,610
15	10,30	63	42,126
17	12,51,68	65	39,195
19	12,76,114	67	40,335,536
21	14,42	69	46,138
23	12,276	71	40,568,710
25	15,75	73	60,219,292,365
27	18,54	75	50,150
29	24,58,174,232	77	44,308
31	20,124,155	79	60,237,316,790
33	22,66	81	54,162
35	30,42	83	60,332,415,498
37	24,111,296	85	51,255
39	26,78	87	58,174
41	24,246,328	89	60,356,534,890
43	42,86,129,301	91	70,130
45	30,90	93	62,186
47	30,141,470	95	60,380,570
49	28,196	97	56,679,776
51	34,102	99	66,198
		101	101,202,303,606

Los problemas 1 a 6 se refieren a repartos de 1, 2, 6, 7, 8 y 9 hogazas de pan entre 10 hombres, aplicando descomposiciones en fracciones unitarias y 2/3.

En ellos el escriba da el resultado y se limita a comprobar que la solución es la correcta. Nos llama la atención la forma en la que Ahmes comprueba el resultado para el caso de n=1, el problema 1. Esta es la resolución:

Cada hombre recibe 1/10 de hogaza
Multiplica 1/10 por 10
hazlo de esta forma

1----------1/10
2----------1/5
4----------1/3 1/15
8----------2/3 1/10 1/30

En efecto siguiendo el método de multiplicación hace 8 + 2 = 10 ----> 1/5 + 2/3 + 1/10 + 1/30 = 1 luego la solución es correcta, pues 10 * 1/10 = 1.

1 -------> 1/ 1/10
*2 -------> 1 1/5
4 -------> 2 1/3 1/15
*8 -------> 4 2/3 1/10 1/30

Problema 48. Comparar el área de un círculo con la del cuadrado circunscrito.

Este problema tiene gran importancia por 2 razones. Por una parte representa el primer intento de una geometría basada en la utilización de figuras sencillas, cuyo área se conoce, para obtener el área de figuras más complicadas, y por otra parte puede ser la fuente del cálculo del área del círculo con un valor de

= 3.1605 que aparece en el problema 50.

El escriba considera un diámetro igual a 9 y calcula el área del círculo como la de un cuadrado de lado 8 (como hace en el problema 50). Obtiene así un valor de 64 setat.

Según se ve en la figura del problema, en el cuadrado de 9 jet de lado

se dividen los lados en tres partes iguales formando luego un octógono. Ahmes elimina los triángulos formados en los vértices del cuadrado. El área del octógono es A = 9² - 4 * (3*3) / 2 = 63. Quizá Ahmes pensó que el área del círculo circunscrito era algo mayor que la del octógono representado.

Problema 51. ¿Cuál es el área de un triángulo de lado 10 jet y base 4 jet?

Según está resuelto el problema, parece que el triángulo es isósceles y queda dividido en 2 partes iguales por la altura, con las que forma un rectángulo, siendo la altura lo que Ahmes llama lado. El escriba lo resuelve así: "Toma la mitad de 4 para formar un rectángulo. Multiplica 10 veces 2 y el resultado, 20, es el área buscada".

También conocido como Papiro Golenischev es casi tan largo como el Papiro Rhid pero tan sólo de unos siete centímetros de ancho. Está escrito por un escriba desconocido de la dinastía XII (sobre 1890 a.C.) y fue comprado en Egipto en el año 1893, conservándose en Moscú, de ahí el nombre.

Se trata de una colección de veinticinco problemas resueltos, sobre cuestiones cotidianas, que no se diferencian mucho de los de Ahmés. Compuesto en forma más descuidada que el anterior hay sin embargo dos problemas geométricos que revisten una importancia especial.

En el problema 10 el escriba pide el área de una superficie de lo que parece ser una cesta semiesférica de diámetro 4 1/2, y procede a calcularla, resultado sorprendente para la época. Otros análisis del problema sugieren que podría tener una interpretación más sencilla y tratarse de la estimación del área de una superficie semicilíndrica de longitud y diámetro 4 1/2.

El número 14 presenta una figura que parece representar un trapecio, pero los cálculos asociados indican que en realidad se trata de un tronco de pirámide cuyo volumen calcula.

(del libro Historia de las Matemáticas (en Cómic). JOSÉ LUIS CARLAVILLA y GABRIEL FERNÁNDEZ. PROYECTO SUR DE EDICIONES)

Nombre	Equivalencia
Heqat	4.8 l
Oipe o ipet	19.22 l
Jar	96 l
Henu	0.48 l
Ro	15 cc

Nombre	Nombre egipcio	Equivalencia
Codo	Meh	0.523 m
Palmo	Shesep	7.471 cm
Dedo	Yeba	1.87 cm
Vara	Jet	52.3 m
Río	Iteru	10.5 Km

1/ 10	1/10
2/10	1/5
3/10	1/5 + 1/10
4/10	1/3 + 1/15
5/10	1/2
6/10	1/2 + 1/10
7/10	2/3 + 1/30
8/10	2/3 + 1/10 + 1/30
9/10	2/3 + 1/5 + 1/30