Trabajos de Investigación Matemática

(Curso 2006-2007)

ESPIRALES Y HÉLICES

 

ÍNDICE:

 

EspiralES

CONCEPTO

Espiral de Arquímedes

Espiral logarítmica

Espiral de Durero

Espiral hiperbólica

Espiral de Fermat

CURIOSIDADES DE ESPIRALES

 

HéliceS

Definición

Teorema de Lancret

Hélice cilíndrica

Hélice cónica

Hélice esférica

HITCHCOCK Y LAS ESPIRALES

 

Enlaces

 

OPINIÓN PERSONAL

 

 

 

 

 

 

 

 

 

EspiralES

 

 

 

 

CONCEPTO

En matemáticas, una espiral es una curva que se inicia en un punto central, y se va alejando progresivamente del centro a la vez que gira alrededor de él. Normalmente se define con una función que depende de dos valores: el ángulo del punto respecto a un eje de referencia, y la distancia desde este punto al punto central en base al ángulo.

Diferencias entre espiral y hélice:

"Espiral" y "hélice" son dos términos que se confunden fácilmente. Una espiral puede ser plana o tridimensional; aunque suelen ser planas, como el surco de un disco de vinilo o los brazos de una galaxia espiral. Una hélice, en cambio, sólo es representable en un espacio tridimensional, y es una recta continua con pendiente finita y no nula que gira alrededor de un cilindro o alrededor de un cono, como en un tornillo.

 

 

 

Espiral de Arquímedes

 

 

 

La espiral de Arquímedes es la curva que describe un punto, moviéndose a velocidad constante sobre una recta que gira con velocidad angular constante.

En coordenadas polares (r, θ) la espiral de Arquímedes puede ser descrita por la ecuación siguiente:

r = a + b \cdot \theta \,

donde a y b son números reales que determinan el tamaño de la espiral y la distancia entre sus brazos.

 

 

 

Espiral logarítmica

 

 

Espiral logarítmica (grado 10°).

 

Definición

Una espiral logarítmica, espiral equiangular o espiral de crecimiento es una clase de curva espiral que aparece frecuentemente en la naturaleza. Fue descrita por primera vez por Descartes y posteriormente investigada por Jakob Bernoulli, quien la llamó Spira mirabilis, "la espiral maravillosa", y quiso una grabada en su lápida. Por desgracia, se grabó en su lugar una espiral de Arquímedes.

En coordenadas polares (r, θ) la curva puede escribirse como

r = a b^\theta  \mbox{o}\  \theta = \log_{b} (r/a), de aquí el nombre "logarítmica"

y en forma paramétrica como

x(\theta) = a b^\theta \cos(\theta)\,

y(\theta) = a b^\theta \sin(\theta)\,

con números reales positivos a y b. a es un factor de escala que determina el tamaño de la espiral, mientras b controla cuan fuerte y en que dirección está enrollada. Para b >1 la espiral se expande con un incremento θ, y para b <1 se contrae.

Propiedades

Espiral construida utilizando rectángulos con la proporción áurea. Resulta una aproximación a la espiral logarítmica.

La espiral logarítmica se distingue de la espiral de Arquímedes por el hecho de que las distancias entre su brazos se incrementan en progresión geométrica, mientras que en una espiral de Arquímedes estas distancias son constantes.

Cualquier línea recta al origen cortará a la espiral logarítmica en el mismo ángulo α, que puede calcularse (en radianes) como arctan(1/ln(b)). El grado de la espiral es el ángulo (constante) que la espiral hace con circunferencias centradas en el origen. Puede calcularse como arctan(ln(b)). Una espiral logarítmica de grado 0 (b = 1) es un círculo; el caso límite es una espiral logarítmica de grado 90 (b = 0 or b = ∞) es una línea recta desde el origen.

Comenzando en un punto P y moviéndose hacia dentro a lo largo de la espiral, hay que rodear el origen infinitas veces antes de alcanzarlo; sin embargo, la distancia total de este camino es finita. El primero en darse cuenta de esto fue Torricelli incluso antes de que se invertara el cálculo. La distancia total cubierta es r/cos(α), donde r es la distancia en línea recta desde P al origen.

Se pueden construir espirales logarítmicas de grado 17,03239 utilizando los números de Fibonacci o la proporción áurea.

 

 

Espiral de Durero

 

En 1525, tres años antes de morir, el genial pintor renacentista y gran enamorado de las Matemáticas, Alberto Durero (1471-1528) publica una obra titulada Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas. Es un precioso libro en el que pretende enseñar a los artistas, pintores y matemáticos de la época diversos métodos para trazar diversas figuras geométricas.

En esta obra Durero muestra cómo trazar con regla y compás algunas espirales y entre ellas una que pasará a la historia con su nombre: la Espiral de Durero.

No se trata de una espiral de Arquímedes ni de una espiral logarítmica pues ninguna de las dos puede construirse con regla y compás. Sin embargo se aproxima bastante a esta última. Es una de las espirales gnómicas basadas en el famoso número de oro, o mejor dicho, en los rectángulos áureos.

Los rectángulos áureos son aquellos cuyos lados están en proporción áurea, es decir, el cociente entre su lado mayor y su lado menor es precisamente el número de oro.

Son los únicos que tienen esta curiosa propiedad: si cortamos un cuadrado cuyo lado sea el lado corto del rectángulo obtenemos un rectángulo semejante al original, es decir tiene las mismas proporciones.

O expresado al revés, si a un rectángulo áureo le añadimos sobre su lado mayor, un cuadrado obtenemos otro rectángulo áureo. Una buena aproximación a esta sucesión de rectángulos áureos es la obtenida a través de los rectángulos cuyos lados son los términos de la sucesión de Fibonacci.

 

Espiral hiperbólica

 

La espiral hiperbólica fue descubierta por Pierre Varignon en 1704. Fue estudiada por Johann Bernoulli entre 1710 y 1713 y también por Cotes en 1722.

Su ecuación es 
Tomando el polo como centro de inversión la espiral hiperbólica se convierte en la espiral de Arquímedes de ecuación 

 

 

 

Espiral de Fermat

 

Espiral de Fermat.

 

La espiral de Fermat, denominada así en honor de Pierre de Fermat y también conocida como espiral parabólica, es una curva que responde a la siguiente ecuación:

r\ =\ \theta^{1/2}

Es un caso particular de la espiral de Arquímedes.

Espirales en la naturaleza:

Aunque podamos no darnos cuenta, las espirales estan bastante presentes en el entorno que nos rodea, como se puede ver aquí.

              

 

   

 

 

CURIOSIDADES DE ESPIRALES

-Arquímedes en el S.III A. de C. descubrió en las espirales que dividiendo un círculo en tres partes, el volumen de una de ellas es igual al volumen de una espiral uniforme. Se construye: Rotación + Dilatación.

 -La voluta del círculo es un tipo de espiral, la cuál, la separación que existe entre sus líneas (la de arriba y la de abajo) es siempre la misma que al mismo tiempo es igual a la longitud del cilindro central de la que parte la espiral.

 -El Girasol (en sus pipas), según el sentido en que se mire, existe 8 espirales más 13 espirales, es decir, un total de 21 espirales.

 -El borde de los pétalos de la rosa, que forman una espiral casi perfecta.

 -Igual que en el girasol, las piñas tienen espirales, según en el sentido en el que se mire la piña y el tipo de piña tiene una cantidad de espirales. 

-Las espirales representan la fuerza de vida. Muy típica de las espirales celtas es la espiral de tres brazos o "trisquel" y hay muchos otros diseños espirales que se basan en este plano fundamental. El número tres era de significación profunda en la religión pagana de los celtas.

 

 

HéliceS

 

Definición

La doble hélice del ADN.

Toda curva cuyas tangentes forman un ángulo α, constante, con una dirección fija del espacio recibe el nombre de hélice. Si su ecuación vectorial es \bar{R} = \bar{R}(s), siendo s el arco, quiere decir que existe un vector unitario \bar{a}fijo tal que para todo s se verifica \bar{T}(s)\bullet\bar{a}=\cos \alpha(constante).

 

 

Teorema de Lancret

Una caracterización de las hélices viene dada por el siguiente teorema conocido como teorema de Lancret. Teorema Es condición necesaria y suficiente para que una curva sea una hélice el que se verifique \frac{\kappa}{\tau}=cte, siendo tanα la constante. Donde κ es la curvatura y τ la torsión.

 

 

 

Hélice cilíndrica

Una hélice cilíndrica es una curva que corta a las generatrices de un cilindro recto con un ángulo constante. Esto quiere decir que la distancia entre dos puntos de corte consecutivos de la hélice con cualquiera de las mencionadas generatrices (rectas paralelas al eje del cilindro y contenidas en su superficie externa) es una constante de la curva, independiente de la generatriz o los puntos escogidos, llamada "paso de hélice".

Expresión analítica

Desde un punto de vista analítico, una hélice queda definida por las siguientes expresiones:

x = \rho \cos \theta \,

y = \rho \sin \theta \,

z = \tan \alpha \theta \,

El paso de hélice (lo que "avanza" cuando la curva da una vuelta alrededor del cilindro) es:

2\pi \tan \alpha \,

 

 

Hélice cónica

Esta curva esta situada sobre un cono.

Expresión analítica

x = t \cos t\,

y = t \sin t\,

z = a t\,

 

 

Hélice esférica

 

Se denomina hélice esférica a toda hélice contenida en una esfera.

 

 

 HITCHCOCK Y LAS ESPIRALES

Alfred Hitchcock, maestro del cine de suspense, utilizó con frecuencia la espiral y su equivalente en tres dimensiones, la hélice. Lo hizo, sobre todo, en Vértigo (1958). Empieza por el cartel de la película

   

Sigue en el ojo del plano inicial:

Se repite varias veces, hasta en el peinado de la protagonista:

Y culmina en la escena final, en la escalera de caracol

 

 

 

Encontramos en otras películas, el efecto espiral de la escalera con cámara cenital:

  

    

Y también en el inodoro y en el desagüe de la ducha de Psicosis (1960)

Esta recurrencia de las espirales parece deberse a su fuerte carga simbólica. En cada situación rubrican diferentes sugestiones e impulsos (desde el miedo hasta el erotismo) que rompen el equilibrio cotidiano de los protagonistas, arrastrándoles en un remolino vertiginoso hacia lo desconocido.

 

 

Enlaces

 

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0648-02/ed99-0648-02.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Espiral

http://www.formacion.pntic.mec.es/web_espiral/matematicas/espiral%20matem.htm

http://es.geocities.com/mundo_matematicas/FOTOGRAFIAS/fotografia_espirales.htm

 

 

 

OPINIÓN PERSONAL

 

Pienso que las espirales y las hélices son un tema matemático muy interesante, ya que no sólo podemos encontrarlas en ejercicios de matemáticas, sino que están en nuestro entorno, podemos verlas a nuestro alrededor. Así que espero que os guste este trabajo y que os intereséis por él.

  

Antonio Jesús Molina Gea, 1º BCN

                                                

 

Volver a Trabajos de Investigación Matemática 2006-2007