Trabajos de Investigación Matemática

(Curso 2002-2003)

El número Áureo

 

 

DEFINICIÓN

Es un número designado con la letra griega FI y su valor      es 1,61803… es el llamado numero de oro y es la inicial del nombre del escultor griego FIDIAS. Su presentación es la siguiente: “dos números a y b están en la proporción de oro. Si a + b es a los mismos que a es b”. Será y es un numero muy importante para la historia, ya que gracias a el se han podido sacar muchas cosas matemáticas.

A este número se le ha dado un carácter casi mágico, haciéndolo aparecer, de forma más o menos natural, en las proporciones de la antigua pirámide de KEOPS, en el Partenón, en las catedrales de Colonia o Notre Dam y dándonos a entender que los arquitectos de distintas épocas lo habían empleado en sus diseños por ser generador de una armonía casi mágica.

PRESENTACIÓN HISTÓRICA

El número áureo está presente en las obras de arte del EGIPTO antiguo. Su teoría es expuesta por primera vez en elementos de geometría de EUCLIDES, en el siglo III a. c, pero esta obra es, en realidad, una síntesis del pensamiento matemático griego de épocas anteriores. En este caso, las ideas sobre el número áureo están inspiradas en el pensamiento del matemático PITÁGORAS, fundador, en el siglo VI, de una escuela científica y mística destinada a ejercer una influencia considerable sobre el pensamiento antiguo y moderno.

Hay opiniones que lo sitúan en la Gran Pirámide, los griegos lo usaron en las proporciones del Partenón, Leonardo da VINCI en sus dibujos, el arquitecto suizo LE CORBUSIER utilizó la razón áurea como base para su escala de proporciones «MODULATOR» y en los proyectos de edificios, como la sede de la ONU en NUEVA YORK. Así mismo lo usa Dalí en su cuadro Leda Atómica.
Además, este número presenta propiedades curiosas como, por ejemplo, que es el cociente entre la diagonal y un lado del pentágono regular, lo que lo hace aparecer «de forma mágica» en el símbolo de los seguidores de Pitágoras. La secta de los pitagóricos usaba como símbolo-contraseña la estrella de cinco puntas formada por las diagonales de un pentágono regular.

DESCUBRIDORES

VITRUVIO desarrolla la idea de que la proporción en materia de construcción debe aplicarse por analogía con el cuerpo humano, es decir, que la geometría de los edificios debe calcarse de la armonía del cuerpo humano. Siglos más tarde, artistas y arquitectos del renacimiento italiano desarrollaron esa misma idea. Leonardo da VINCI y el alemán Alberto DURERO reflexionaron sobre las proporciones ideales del cuerpo humano. Se supone que lo obtuvieron los griegos al hallar la relación entre la diagonal de un pentágono y el lado.

En el siglo XX el arquitecto LE CORBUSIER que basó su sistema de proporciones humanas en el número áureo. 
Hay varios cocientes que son el número áureo: 

 

NATURALEZA, ARTE Y CUERPO HUMANO:

El número áureo aparece, en las proporciones que guardan edificios, esculturas, objetos, partes de nuestro cuerpo…

Uno de los rectángulos que ha parecido mas bello y armónico es el que cumple que el cociente del lado mayor entre el menor es el número áureo. Un rectángulo de este tipo se llama áureo y un ejemplo del arte es el alzado del Partenón griego.

    

 Ya  vimos que el cociente entre la diagonal de un pentágono regular y el lado de dicho pentágono es el número áureo. En un pentágono regular está basada la construcción de la Tumba Rupestre de Mira en Asia Menor.   

 El carné de identidad es un rectángulo áureo, y por tanto las cajetillas de tabaco, y en gran parte de las tarjetas que utilizamos así como todas las tarjetas de crédito.

           

Estirando manos y pies y haciendo centro en el ombligo, se dibuja la circunferencia. El cuadrado tiene por lado la altura del cuerpo que coincide en un cuerpo armonioso, con la longitud entre los extremos de los dedos de ambas manos cuando los brazos están extendidos y formando un ángulo de 90º con el tronco. Resulta que el cociente entre la altura del hombre (lado del cuadrado) y la distancia del ombligo a la punta de la mano (radio de la circunferencia) es el número áureo. Hay un precedente a la cultura griega donde también apareció el número de oro. En la gran pirámide de KEOPS, el cociente entre la altura de uno de los tres triángulos que forman la pirámide y el lado es f/2.

  

 Aparece el número de oro también en el crecimiento de las plantas, las piñas, la distribución de hojas en un tallo y la formación de caracolas.

Esto lo vuelve a relacionar con la belleza en cuanto a armonía, repetición y equilibrio, pues en muchas de las cosas que en la naturaleza están dispuestas en espiral, como las semillas de un girasol o las escamas de una piña, se da una propiedad que no deja de ser sorprendente. Si las observamos, presentan espirales en dos sentidos, el de las agujas del reloj y el contrario. Se cumple que, si contamos el número de espirales que hay en un sentido y las que hay en el, ambos números serán dos términos consecutivos de la sucesión de FIBONNACI. Aquí vuelve a parecer nuestro número mágico.

Recientemente, estudios científicos avanzados han demostrado que lo que intuían estos hombres era cierto. En el campo de la odontología, se ha descubierto que la dentadura va creciendo siguiendo proporciones áureas, y de la misma forma lo hacen otros rasgos faciales, como la sonrisa respecto al arco dental, la distancia entre los ojos y muchas más. Tal vez por eso los puntos básicos de acupuntura se distribuyen en la cara en diferentes rectángulos de oro. Ahora todo parece encajar: si nosotros mismos crecemos al ritmo marcado por PHI, ¿no es lógico que encontremos más bellas las formas basadas en la proporción de oro que las que no lo están? 

 

   

El número áureo también aparece  en la sucesión de FIBONNACI: 1,1,2,3,5,8,13,21,34… :                     

        Cada número a partir del tercero, se obtiene sumando los dos que le preceden. Por ejemplo, 21 = 13 + 8; el siguiente a 34 será 34 + 21 = 55.

Esta sucesión es la llamada "sucesión de FIBONNACI" (Leonardo de Pisa 1170-1240).

Los cocientes (razones) entre dos números de la sucesión, se aproximan más y más al número áureo (1'61803...).

Esta sucesión de números aparece en la Naturaleza en formas curiosas. Las escamas de una piña aparecen en espiral alrededor del vértice. Si contamos el número de espirales de una piña, encontraremos que siempre es igual a uno de los números de la sucesión de FIBONNACI.

Esta sucesión también aparece en el estudio de las leyes mendelianas de la herencia, en la divergencia foliar, en la formación de la concha de algunos moluscos...

    

  Una manera práctica de dibujar una espiral es mediante la construcción rectangular en las espirales de cuadrados; se trata de dibujar el cuadrante de un círculo en cada nuevo cuadrado que se añada.

En la construcción anterior, se empieza con un cuadrado de 1 unidad de lado (el nº 1), se añade uno igual para formar un rectángulo de 2 x 1, a continuación añadimos un cuadrado de 2 x 2 (el nº 3) para formar un rectángulo de 3 x 2; después un cuadrado de 3 x 3 (el nº 4), de manera que el siguiente rectángulo es 5x 3, el siguiente cuadrado es 5 x 5 (el nº 5), y así sucesivamente.

 

BIBLIOGRAFÍA

El número de oro. Mariano j. Domínguez muro. Ed. Proyecto sur. Taller de matemáticas. Suplemento aula del periódico El Mundo.

Páginas sobre el número áureo en google.

Curiosidades matemáticas.

 

AUTORES

Diego Hernández Pérez (4ª A)

Ángel Gregorio García Caparrós (4ª B)

Mostramos algunas imágenes de la presentación:

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