El rincón de la Ciencia I.S.S.N.: 1579-1149

nº 35 (abril-2006)

Construcción de poliedros regulares


I. Quirós (IES Victoria Kent, Torrejón de Ardoz)


Los materiales

Para construir poliedros con pajitas lo primero que necesitamos son, obviamente, pajitas. Conviene que estas no sean de las que tienen una parte flexible (o se debe quitar esa parte). También es conveniente que no sean demasiado frágiles para que no se nos rompan al tensar el hilo. Las pajitas podremos cortarlas en trozos más pequeños si no queremos que nos salga el poliedro demasiado grande. Pero lo que es importante es que los trozos que hagamos sean todos de la misma longitud.

También necesitaremos hilo de lana o alambre de bisutería. Este último es mejor porque se puede dirigir fácilmente por el interior de las pajitas y dará mayor rigidez al poliedro, lo que para el cubo o el dodecaedro será imprescindible pero no para los poliedros de caras triangulares.

En el caso de que usemos hilo, necesitaremos también una aguja para poder pasar el hilo por dentro de la pajita. Esta aguja tiene que ser más larga que los trozos de pajita que vayamos a usar. Si no tenemos una aguja así la podemos fabricar con un trozo de alambre en el que le hagamos un arito en un extremo para enhebrar en él el hilo.

CONSTRUCCIÓN DE UN TETRAEDRO

 Este es el poliedro más fácil de construir y para ello necesitaremos 6 trocitos de pajita.

 Primero vamos a construir un triángulo. Para ello pasa el hilo por tres trozos de pajita y átalos tensando lo más posible.

Antes de seguir construyendo, fíjate en que, si has tensado bien, el triángulo que obtienes es indeformable. Esta es una propiedad que el único polígono que la cumple es precisamente el triángulo. Todos los demás polígonos construidos así (cuadrados, pentágonos,...) se pueden mover, cambiando los ángulos. Precisamente por esta propiedad que ya conocían los antiguos griegos, construían los templos con un triángulo para sujetar el techo y hoy en día muchas estructuras se acaban uniendo formando triángulos para darles mayor rigidez. Esta propiedad nos va a permitir también que cuando construyamos los poliedros con caras triangulares (tetraedro, octaedro y dodecaedro), estos se mantengan rígidos aunque los hayamos hecho con hilo en lugar de alambre.

  El siguiente paso en nuestra construcción será hacer otro triángulo adosado al anterior. Para ello pasa el hilo por una nueva pajita, luego por la de uno de los lados del triángulo que ya tenías construido y, por último por otra pajita nueva. Hecho esto haz un nudo en el hilo tesándolo para que quede el nuevo triángulo rígido.

Ya sólo nos queda terminar el vértice del tetraedro, que esta formado por tres caras triangulares. Para ello tienes que tomar un nuevo trozo de pajita, pasar por él el hilo y luego, sucesivamente, por cada uno de los lados de cada uno de los dos triángulos que vas a unir (por ejemplo, los azules del dibujo). Para poder hacerlo tendrán que levantar los dos triángulos por uno de los vértices comunes, para poder formar el vértice del tetraedro, tal y como ves en la foto.

 

CONSTRUCCIÓN DE UN OCTAEDRO

  El proceso de construcción del octaedro es muy parecido al del tetraedro. La única diferencia en que mientras en los tetraedros confluyen en un vértice tres triángulos, en el octaedro son cuatro. En este caso vas a necesitar 12 trocitos de pajita.

  Comenzaremos de nuevo haciendo un triángulo y adosando a continuación otros dos como ves en la figura.

 

Ahora tenemos que cerrar el vértice con un cuarto triángulo. Para ello tienes que tomar un nuevo trozo de pajita, pasar por él el hilo y luego, sucesivamente, por cada uno de los lados de cada uno de los dos triángulos que vas a unir (los azules del dibujo), y al igual que hiciste en el tetraedro, tendrás que levantar los tres triángulos por el vértice común para que pueda cerrar.

Como verás, te habrá quedado una pirámide de base cuadrada. Para completar el octaedro bastará con  formar otra pirámide por el otro lado, aprovechando la base cuadrada ya construida.

 

CONSTRUCCIÓN DE UN ICOSAEDRO

Si ya has construido los dos poliedros anteriores, construir el icosaedro es similar pero un poco más largo. Comienzas construyendo cuatro triángulos consecutivos al igual que hiciste dos y tres en las anteriores.

 

 

Y como viene siendo habitual, se trata ahora de cerrar el vértice con otro triángulo, porque en los vértices de los icosaedros confluyen cinco triángulos.

Con esto has construido una pirámide pentagonal. Pero ahora no basta con completar una pirámide igual por el otro lado. Vamos a seguir una estrategia distinta, que podíamos haber usado en las construcciones anteriores: ir completando vértices. Vamos a ver en qué consiste. Hemos dicho que en los vértices de un icosaedro confluyen 5 triángulos (en los del octaedro 4 y en los del tetraedro 3). Pues lo que hay que hacer es ir observando en cada vértice que nos vaya saliendo cuántos triángulos convergen e ir completando hasta que converjan 5.

En lo que habíamos construido hasta ahora, hay un vértice completo y otros cinco vértices donde sólo hay dos triángulos. Elegimos uno de ellos y lo completamos con otros tres triángulos. Una vez terminado esto veremos que aparte de dos vértices completos de 5 triángulos tenemos uno en el que confluyen tres, pues lo cerramos con otros dos, pero fíjate que para cerrar puedes ir aprovechado lo que ya tienes.

Este es el proceso que tienes que ir siguiendo. Vas mirando cuantos triángulos (también puedes contar pajitas que es lo mismo) convergen en cada vértice y los vas completando hasta 5 aprovechando lo que ya tienes. Así, poco a poco, llegará un momento que con añadir una última pajita habrás completado un icosaedro como el de la foto siguiente.

 

CONSTRUCCIÓN DE UN EXAEDRO (O CUBO) Y UN DODECAEDRO

  Estos dos poliedros tienen el inconveniente de que al no ser triangulares sus caras, no son polígonos rígidos y si los construimos simplemente con hilo, se deforman no manteniendo su estructura. Por eso, en estos casos, es mejor usar un alambre con cierta rigidez, pero eso también lo hace más difícil de manejar. El dodecaedro, que es más complicado, por lo menos mantiene algo la idea aunque lo hagas con hilo, pero el cubo no se mantiene de pie si no lo haces con un alambre más rígido. Otra posibilidad es dar cierta rigidez a los vértices cuando los construyas con plastilina u otro material.

De todas formas la idea de construcción es la misma que en los anteriores. Se trata de construir primero el polígono que forma la cara (cuadrado en el caso del cubo y pentágono para el dodecaedro) e ir completando los vértices. En ambos casos confluyen tres caras en un mismo vértice, por lo que para construir el cubo tienes que unir tres cuadrados y para el dodecaedro tres pentágonos, de la misma manera que lo haces para los triángulos en el tetraedro, octaedro e icosaedro. Así vas completando todos los vértices hasta que se cierre el poliedro.

 

CONSTRUCCIÓN DE OTROS POLIEDROS

  De una manera similar se pueden construir otros poliedros con pajitas pero ya no serán los poliedros platónicos puesto que de estos sólo existen los cinco que hemos explicado antes.

  Un ejemplo es el “balón de fútbol”. Está formado por pentágonos y hexágonos regulares y en cada vértice convergen un pentágono y dos hexágonos. Puedes partir de un pentágono, rodearlo de hexágonos y luego ir completando los vértices.

Otro ejemplo son los polígonos estrellados. Puedes partir de uno de los poliedros platónicos y luego in construyendo encima de cada cara una pirámide.

  Y así todo lo que se te ocurra. Es sólo cuestión de ser creativo.