El rincón de la Ciencia I.S.S.N.: 1579-1149

nº 40 (marzo-2007)

 

La ciencia de la magia

Adivinando números. Las propiedades de los números cíclicos (RC-100g)


I. Quirós


Son habituales los trucos en los que un mago adivina números muy complicados que, aparentemente, no podía conocer previamente. Suelen ser trucos basados en las matemáticas. Aquí vamos a desarrollar uno en el que se aprovechan las propiedades de los llamados números cíclicos.

Introducción. Números cíclicos

Un número cíclico es un entero de n cifras que presenta la insólita característica de que al multiplicarlo por cualquiera de los números comprendidos entre 1 y n, ambos inclusive, el producto tiene n cifras, las mismas que el multiplicando primitivo, y en el mismo orden cíclico. Imaginemos un collar, cuyas cuentas fuesen los números 142.857. Podemos abrir el collar por seis sitios; al estirarlo formaremos seis números de seis cifras, que son las seis permutaciones cíclicas del número escrito:

El truco consiste en adivinar cualquiera de esos números

Preparación del truco

Vamos a ayudarnos de una baraja francesa, de 52 naipes, que nos va a servir para prepara el número de partida: precisamente el 142857.

Preparamos la baraja empezando por separar las nueve cartas de picas cuyo valor se expresa con una sola cifra (si queremos trabajar, por ejemplo, con picas, aunque podría utilizarse el palo que quisieramos). Estas cartas son colocadas en la parte inferior del mazo, de manera que su orden, de abajo a arriba, sea 1-4-2-8-5-7. A continuación van las tres cartas restantes, en orden cualquiera.

Por otro lado cortamos una tira de papel de longitud doble que la del sobre que haya de contenerla, escribimos en ella las cifras ya dichas y pegamos sus extremos, formando así una faja circular. Después la aplanamos, como muestra la Figura ,

 y así plegada la metemos en el sobre, que cerramos y pegamos.

Como es obvio, tenemos que saber de memoria el número 142.857 y también recordar que sus tres primeras cifras están en la mitad superior de la banda, y las otras tres, en la mitad inferior. Más tarde abriremos el sobre, cortándolo con unas tijeras por uno de los cuatro lugares marcados A, B, C o D.

Si se corta por A o por D, córtese también la extremidad de la banda de papel, con lo cual, al extraerla, quedará una tira rectangular que mostrará el número 142.857 o bien el 857.142.

Las otras cuatro pe­mutaciones cíclicas se obtienen abriendo el sobre por B o C, como se explica. Hay que empezar cortando solamente el sobre, por debajo de la tira de papel; pero conforme avanza el corte, hay que tener cuidado para introducir la punta de las tijeras por medio de la banda, cortando así solamente la parte superior de la cinta de papel y el anverso del sobre. Así abrimos una rendija, por donde podremos extraer una tira de papel que portará uno de los números 428.571 ó 285.714.

Para obtener las otras dos permutaciones basta proceder de igual manera por el reverso del sobre. La idea de cortar el sobre y extraer de él una tira de papel que exhiba una de las seis permutaciones cíclicas de 142.857.

Realización del truco

Al empezar el espectáculo se le entrega a uno de los espectadores el sobre informando a todo el mundo de que has hecho una predicción que está contenida en ese sobre.

Ahora preguntas por alguien que sepa barajar por el método de peinado que consiste en dividir el mazo en dos partes iguales y, dejando escurrir de los pulgares se mezclen las cartas (justifícate diciendo que ese método garantiza una buena mezcla). Di que lo haga una vez, y si quiere puede hacerlo una segunda vez. Insiste en que así han quedado bien mezcladas las cartas. El doble peinado hará que las nueve cartas queden repartidas por el interior de la baraja, haciéndolas subir dentro del mazo, pero sin modificar el orden de las picas.

Seguidamente, le explicamos al auditorio que vamos a construir un número de seis cifras sacadas al azar, y que para ello volveremos el mazo boca arriba y tomaremos las seis primeras picas cuyo valor sea de una sola cifra. Naturalmente, las cifras resultan ser 1-4-2-8-5-7 (si por azar, al mezclar, hubieran cambiado de orden, debemos colocarlas para que salga el número que buscamos). Colocamos estas cartas en hilera, sobre la mesa.

A continuación dices que para mayor dificultad vas a hacer lo siguiente: le das a un espectador un dado imaginario (le dices que le estás dando un dado y haces el gesto de sacarlo del bolsillo y dárselo). A continuación le pides que lo lance (tiene que hacer como si lanzara un dado real) anunciando que multiplicarás el número que tienes, 142.857 por el número que salga. Pides a quién se supone ha tirado el dado que te diga que número le ha salido. Seguidamente le das a un tercer espectador una calculadora y le pides que haga la multiplicación y que anote en la pizarra el número que ha salido.

Recuerdas al público que el número salió al azar y que tú entregaste el sobre antes de empezar por lo que no podías saber que número iba a salir. Entonces pides el sobre y con las tijeras lo abres por el lugar oportuno (para saberlo, se multiplica la cifra que nos digan por 7 y se toma la cifra de unidades del producto), y sacas a la vista la tira de papel, para dejar de manifiesto que tu predicción era correcta.

(Extraído del libro “Circo matemático” de Martin Gardner)