El rincón de la Ciencia I.S.S.N.: 1579-1149

nº 34 (enero-2006)

Diagramas de Venn (Al-18)


Manuel Batalla


 

Una de las principales teorías dentro de la matemática actual es la Teoría de los Conjuntos. Podríamos decir que es una teoría que nos explica el funcionamiento de una colección de elementos cuando realizamos alguna operación con ellos.

De la definición anterior observamos la primera dificultad que se encuentra un estudiante al estudiar esta teoría, pues se empieza sin ninguna definición válida. El concepto de conjunto se acepta sin definición.

La segunda dificultad a la que una persona se enfrenta cuando estudia la Teoría de Conjuntos es la de las operaciones con conjuntos. Una parte que sin lugar a dudas es muy importante ya que influirá en otras teorías matemáticas. Pues bien, los Diagramas de Venn intentan corregir, de alguna manera, dicha dificultad.

Los Diagramas de Venn se basan fundamentalmente en representar los conjuntos matemáticos con unas “circunferencias”. Con estas circunferencias el estudiante realiza una serie de operaciones como la  unión, la intersección, etc. Podríamos decir que el manejo de los Diagramas de Veen sirven para orientar al estudiante, son una herramienta metodológica que tiene el profesor para explicar la Teoría de Conjuntos.  

Pues bien vamos a citar a continuación los ejemplos más importantes de los Diagramas de Veen.

Diagrama de la intersección de dos conjuntos.
En teoría la intersección  de dos conjuntos podemos definirla como la parte común que tienen dos conjuntos, si es que existe(Ejemplo de inexistencia: la intersección de los números pares con los impares) . Pues el diagrama que viene a continuación representa dicha situación.

La intersección de los conjuntos A y B es la parte azulada, en efecto vemos que la parte común que comparte el conjunto A con el B es la parte azul.

En matemáticas la intersección se representa A∩B.

 

Diagrama de la intercesión vacía (no hay ningún elemento común)

En efecto, se observa que ambos conjuntos no tienen ninguna parte común. Esto se le llama en Matemáticas conjunto vacío y se representa: Ø.

Diagrama  de la unión de dos conjuntos.

En teoría la unión de dos conjuntos podemos definirla como una “suma” de un conjunto con otro. Pues el diagrama que se muestra a continuación representa la situación descrita anteriormente.

La unión de los conjuntos A y B es la parte colorada, podemos ver que se han sumado el conjunto A y el B. En matemáticas la unión se representa AUB.

Diagrama del complementario de un conjunto.

En teoría el complementario de un conjunto se hace en referencia a un conjunto universal y se define como los elementos que no pertenecen al conjunto. Tan raro se entiende mejor con el siguiente diagrama.

El conjunto U es el universal(parte amarilla y blanca) y el complementario de A es solo la parte amarilla del dibujo. El complementario de  un conjunto se representa Ac.

Diagrama de la diferencia de conjuntos.

La diferencia B - A es la parte de B que no está en A.

La diferencia de conjuntos en matemáticas se expresa B\A, para este caso.


Diagrama de la inclusión de conjuntos.

En el diagrama se puede observar como el conjunto B esta contenido (o incluido) en el conjunto A. Esto matemáticamente se expresa BÌA.

Con estos diagramas se pueden representar la gran mayoría de las operaciones con conjuntos. Pero, las aquí expuestas son las fundamentales a partir de ellas se obtienen las demás.

  Notas  biográficas

Jhon Venn nació el 4 de agosto de 1833 en Hull (Inglaterra) y murió el 4 de abril de 1923 en Cambridge (Inglaterra).Este científico nace en una familia acomodada y evangélica y cristiana. Fue profesor en la Universidad de Cambridge, impartía clases de lógica y probabilidad, estaba interesado en las teorías de De Morgan y Boole. Con relación  a este último se encargó de ampliar su teoría acerca de la lógica matemática con lo que elabora los diagramas que hemos visto antes. Entre sus libros cabe destacar Symbolic Logic (Lógica Simbólica) en 1881 y The Principles of Empirical Logic (Los Principios de la Lógica Empírica ) en 1889.

Páginas Web recomendadas:

http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Venn.html (esta en inglés).