ÍNDICE:

1.Antecedentes

1.1.Presentación del proyecto

2.Resultados de la investigación.

2.1. ¿Qué es un fractal?

2.1.1. Definición

2.1.2. Historia

2.2.  Tipos de fractales

2.2.1. Fractales autosemejantes

2.2.2. Otros fractales

2.2.3. Aplicación de los algoritmos fractales

3.Inicio de la investigación

3.1. Metodología

3.2. Conclusiones previas

3.3. Profundización en la investigación

3.4. Conclusiones elaboradas

4.Resumen de la investigación

5. Presentación en Power Point

1. ANTECEDENTES

1.1 Presentación del proyecto

 Este proyecto lo hemos realizado en la clase de Taller de Matemáticas. El profesor D. Joaquín Comas nos dijo que teníamos que hacer  un proyecto de investigación sobre varios temas que el nos dio. Entre ello estaban dos sobre historia de las matemáticas, el numero áureo, las espirales, y los fractales.

 Elegimos este  por ser uno en los que mas se utilizaban los ordenadores y era uno de los mas  novedosos e interesantes de los que había para elegir (a parte de ser uno de los  mas difíciles). Para la realización de este proyecto hemos utilizado mucho la búsqueda en Internet así como documentación en video y programas informáticos, llegando a realizar fractales propios. Intentamos completarlo al máximo para presentarlo al XVI Congreso de Jóvenes Investigadores que se realiza en Mollina (Málaga).

2. CONCEPTOS BÁSICOS

2.1¿Qué es un fractal?

2.1.2 Definición

 Para que vayamos centrándonos en este proyecto daremos una simple definición de fractal.

 Se puede considerar un fractal toda figura (conjunto de puntos) la cual tiene las siguientes características.
 1) Autosimilitud: La figura puede dividirse en distintas partes mas pequeñas cuanto se quiera, y estos trozos serán idénticos al total el fractal podrá ser dividido cuantas veces se desee y los resultados obtenidos serán igual que el conjunto total.  Podríamos decir que en un fractal, la forma no depende de la escala.

 2) Dimensión: La dimensión de un fractal no es un número entero.

Por ejemplo, una recta tiene dimensión 1.

Para un rectángulo su dimensión sería 2.

Y para un cubo, por tanto, sería dimensión 3.

Pero los fractales no cumplen esta norma, un fractal es una línea, por tanto ocupa la dimensión 1, pero esa línea llega casi a ocupar el plano por completo, por lo que también podría ser de dimensión 2.

 Por ejemplo: El fractal de G. Peano tiene dimensión fractal ( la que sea ) porque ocupa la dimensión 1 y llega a ocupar toda la dimensión 2.

 La dimensión de un fractal es un número decimal comprendido entre 1 y 2 y en general, para un fractal que tenga la propiedad de ser dividido en N partes, cada una de las cuales al ser aumentada M veces, coincide con el conjunto total y se define la dimensión del fractal como el número log(N)/log(M).
 

2.2.1 Historia 

Benoit Mandelbrot se puede considerar como el padre de los fractales, por ser, la primera persona en dar la teoría de los fractales a raíz de su descubrimiento en el centro Thomas J. Watson de la IBM. Aunque en realidad sólo rescató ideas de otros matemáticos como Koch, Cantor o Sierpinski. Estos matemáticos habían concebido la idea de fractal e incluso habían llegado a definir sus propiedades, pero no podían llevar a cabo la realización grafica de un fractal por carecer de los medios informáticos que tenía Mandelbrot. Hace un siglo se podía soñar, pero no experimentar con los fractales.

A continuación se presenta un resumen de los matemáticos más importantes de la historia fractal.

K. Weierstrass (1815-1897)                                

Definió, por primera vez, una curva continua no diferenciable.

G. Cantor (1845-1918)                                       

Estableció una sucesión de segmentos conocida como "polvo de Cantor".

A. Lyapunov  (1857-1918)                                     

Abrió el camino para el estudio de sistemas dinámicos.

G. Peano  (1858-1932)                                           

Diseñó una curva que, al desarrollarse, pasa por todos los puntos del plano.

N. Koch  (1815-1897)                                            

Su aportación más famosa se la conoce como "Copo de nieve".

W. Sierpinski  (1882-1969)                                     

Su "triángulo" es, probablemente, el fractal más conocido.

G. Julia  (1893-1978)                                             

Estudió por primera vez la iteración de funciones racionales.

B. Mandelbrot  (1924- )                                          

Un gran impulsor de la matemática fractal, ayudado por las computadoras.

2.1Tipos de fractales

2.1.1 Fractales autosemejantes

Definimos “Fractal autosemejante” a aquel fractal que cumple el punto, de sus características llamado “Autosimilitud”, es decir, que al aumentarlos, encontramos el mismo grafico representado a menor escala.

Desde la formación de uno mas sencillo:

2.1.1 Otros fractales

 Existen otros tipos de fractales, mas extrovertidos, complicados y complejos que al aumentar su escala aparece otro grafico diferente como ocurre en el conjunto de Mandelbrot.

 Aquí tenemos al conjunto de Mandelbrot:

Y al aumentar en zoom la imagen, podremos encontrar lo siguiente:

Y si seguimos aumentando obtendremos:

Este fractal cumple la autosimilitud y a su vez aparecen figuras distintas.

2.2.3 Aplicación de los algoritmos fractales.

Los fractales, desde el principio de su descubrimiento han sido disputados por los artistas por su belleza y extravagancia y por los técnicos de efectos especiales, pues son ideales para simular el entorno alienígena de las películas de ciencia-ficción (de hecho algunas escenas del Retorno del Jedi de la saga de la Guerra de las Galaxias y algunos paisajes de la serie de televisión Star Trek utilizan fractales), pero esconden algo más debajo de esa piel tan llena de colores y formas, esto son los algoritmos fractales.

Los algoritmos fractales se utilizan para diversas ramas de la ciencia, por ejemplo, los fractales aportan a la Geografía la forma de medir costas y cordilleras. Actualmente, los científicos han intentado con éxito predecir el desbordamiento de un río mediante los algoritmos fractales, pero el uso más frecuente de  aplicación de éstos es en la tecnología de la información como compresor de imágenes y sonido, la compresión fractal ahorra mucho espacio y, por tanto, se puede enviar más información en menos tiempo.

La compresión fractal de imágenes consiste en que un programa de ordenador encuentra los posibles fractales que puede haber en una fotografía y con una simple anotación de la fórmula matemática puedes pasar la imagen reduciendo su espacio, en ocasiones, en más del 70 % (el porcentaje varía según el color, el tamaño y la forma de la imagen.)

Actualmente se habla de la posibilidad de que, con estos mismos algoritmos fractales, se podrían predecir los números de la Lotería Nacional con más de dos meses de antelación y poder averiguar con más exactitud cuantos cuerpos(estrellas planetas, satélites...) hay en el universo, y hasta incluso predecir en cuales de estos cuerpos se podría encontrar vida, pero solamente son divagaciones sobre el asunto y creo que se espera más de lo que se puede esperar de los algoritmos fractales.

2.2.4 Prácticas de  compresión fractal.

Nosotros quedamos intrigados sobre la aplicación de los algoritmos fractales en el campo de la comunicación, sobre todo con la compresión de imágenes y sonido e intentamos buscar software para comprimir nuestros propios archivos. Buscamos pero no encontramos ningún programa para la compresión fractal de audio, pero encontramos un programa para la compresión fractal de imágenes: Fractal Imager. Con este programa nos dispusimos ha comprimir tres imágenes en varios formatos, mapa de bits

(.bmp) y jpeg (.jpg). A continuación presentamos las tres imágenes modelo:

El programa Fractal Imager nos daba la posibilidad de elegir entre la calidad de las imágenes, lo cual nos daba un poco más de trabajo para hacer, pero quedaría más completo, he aquí los resultados.

3. PROPUESTAS DE CLASE

 A continuación vamos a proponer varias actividades para realizar en clase de Taller de Matemáticas:

 -         Buscar en el instituto al menos un objeto que contenga algún fractal.

-         Hacer entre todos con latas de 33 cl. El triángulo de Sierspinski, cada grupo coge un número determinado de latas y fabricar un triángulo, después se juntarían todos los triángulos para hacer otro mayor y así sucesivamente.

-         Animar a otros centros a realizar otro triángulo de Sierspinski con latas para crear uno mayor.

-         Hacer una pequeña investigación sobre las ramas de las pitas y comprobar si su crecimiento es de forma autosemejante (forma no depende de la escala)

4. RESUMEN DE LA INVESTIGACIÓN

He aquí los datos más importantes de un fractal.

 -         Consideramos un fractal a toda figura que posea autosimilitud .

-         Su historia es muy actual y ha sido impulsada gracias a los ordenadores.

-         Sus aplicaciones son muy diversas, tales como crear arte, predecir algunos aspectos de la naturaleza y la compresión de datos.

-         Es un tema en el que todavía queda mucho por investigar y todavía no se sabe hasta dónde nos puede llevar los algoritmos fractales.

4. PRESENTACIÓN EN POWER POINT

AUTORES

David Fernández Ros (4ª A)

José Antonio Sánchez García (4ª A)

Mostramos algunas imágenes de la presentación:

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