VÍDEOS

REFLEXIONES METODOLÓGICAS

METODOLOGÍA DEL USO DEL VÍDEO

REGULARIDADES NUMÉRICAS EN LA ESO. NÚMEROS POLIGONALES

CÓNICAS

REFLEXIONES METODOLÓGICAS

Según los últimos estudios de la UE un joven entre 12 y 16 años pasa entre 20 y 30 horas semanales ante el televisor. Si a este hecho le añadimos la acumulación de mensajes en forma de imágenes, tanto fijas como en movimiento, que los alumnos reciben por otros medios como el cine, las vallas publicitarias, los videojuegos, etc, podemos asegurar que la mayor parte de la información referente al entorno espacial y temporal próximo del alumno le llega a través de los distintos medios audiovisuales.

Esta situación nos permite extraer dos consideraciones de carácter general a la hora de integrar los medios audiovisuales en la enseñanza:

a) El alumno está familiarizado con los medios, tanto desde un punto de vista tecnológico, control de los aparatos, como desde un punto de vista sociológico, ha adquirido unos hábitos perceptivos ante los mensajes transmitidos por estos soportes.

b) Los criterios para seleccionar, retener y asimilar esta información son muy diferentes a los empleados para procesar y asimilar las informaciones transmitidas en clase donde prima la componente verbal como soporte.

La nota característica de la cultura de la imagen, cuyo paradigma es la televisión, es lo que se dado en llamar "cultura mosaico", es decir, un conjunto de informaciones inconexas, descontextualizadas en el espacio y en el tiempo y con grandes dificultades para su integración e incluso para relacionarlas entre sí.

La utilización de los medios audiovisuales en el ámbito escolar ha de basarse en el hecho de que la Escuela es un contexto activo de recepción y procesamiento de información y un marco en que se cultivan capacidades para el análisis y la interpretación. El profesor ha de ser por tanto un mediador entre la información y el aprendizaje, entre el medio y el alumno, facilitando las herramientas adecuadas para el análisis y la interpretación y corrigiendo los esquemas conceptuales erróneos.

En este sentido, y desde un punto de vista metodológico, el documento audiovisual no debe ser ningún sustituto del profesor, y además tanto el papel del profesor como de los alumnos ha de ser de participación activa y de interrelación entre ambos y con los medios.

La utilización de los medios audiovisuales lleva implícita la puesta en práctica de una metodología activa basada en un eje fundamental: LA INVESTIGACIÓN MATEMÁTICA EN EL AULA, y la construcción y posterior modificación por el propio alumno de sus estructuras conceptuales y de sus destrezas procedimentales.

• Aproximar la realidad al aula. La imagen se basa en acciones reales que se producen en la realidad o en simulaciones de alto contenido icónico de dicha realidad.
• Permiten elaborar representaciones mentales del objeto representado. En Matemáticas suponen la introducción de escalones intermedios en la transición de lo concreto a lo abstracto.
• Posibilitan una gradación más acorde con la evolución intelectual del alumno del proceso de abstracción que las matemáticas llevan implícito.

Finalidad

Sin pretender hacer una relación exhaustiva, la utilización de los medios audiovisuales en general permite:

• El estudio dinámico de distintos momentos (significativos) de un proceso (origen, fases de producción, crecimiento, evolución, etc)
• Simplificar realidades complejas, difícilmente aprehensibles y aprendibles en su estructura y configuración natural.
• Establecer comparaciones entre aspectos distintos de una misma realidad o entre diferentes realidades (en el espacio y en el tiempo).
• Acceso al pasado, entroncando los conocimientos matemáticos con los contextos históricos y culturales en que se han producido. Historia de las Matemáticas.
• Aproximarse a fenómenos difícilmente accesibles o reproducibles desde el aula. (Simulaciones, animaciones, recursos visuales y gráficos).

Objetivos específicos

• Aproximar la realidad al aula, reproduciendo aspectos concretos de la misma.
• Motivar al alumno ante determinadas situaciones o investigaciones.
• Promover debates e investigaciones sugeridas por el vídeo o complementarias a él.
• Adquirir destrezas y habilidades.
• Descubrir y aplicar procedimientos.
• Fomentar actitudes y transmitir valores.

VÍDEOS UTILIZADOS

* Serie OJO MATEMÁTICO. Metrovídeo

** Serie MÁS POR MENOS. TVE

*** Serie UNIVERSO MATEMÁTICO. TVE

METODOLOGÍA DEL USO DEL VÍDEO

FASES

Desarrollaremos en forma exhaustiva el modelo de aplicación de dos de estos documentos en el contexto de una unidad didáctica de 4º de ESO: Estudio de regularidades numéricas.

También desarrollamos la aplicación del vídeo Cónicas: del baloncesto a los cometas de la serie Más por Menos de TVE
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

REGULARIDADES NUMÉRICAS EN LA ESO

Aplicación didáctica de dos documentos audiovisuales

• Universo Matemático: Pitágoras: mucho más que un teorema
• Ojo Matemático: Números triangulares, números cuadrados

Presentación del tema: motivación

Todo el mundo conoce a Pitágoras aunque sólo sea por el teorema que lleva su nombre.

" El área cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los dos catetos".

Antes de profundizar en este teorema por qué no investigamos algo acerca de Pitágoras y de su época.

¿Quién era?, ¿dónde y cuándo vivió?, ¿qué culturas le influyeron?, ¿qué era la escuela pitagórica?, ¿cómo estaban organizados?, ¿qué Matemáticas utilizaron?, ¿qué otros descubrimientos hicieron?, ¿cuáles han llegado hasta nosotros?, ¿cómo y para qué los utilizamos?....

Investigar sobre todos estos interrogantes nos va a permitir no sólo entender un poco más del mundo clásico sino desarrollar e investigar sobre un buen número de contenidos del curriculum de este curso distribuidos en varios bloques: Números, Álgebra, Geometría, Azar... Pero vamos a desarrollar no sólo contenidos conceptuales sino también procedimentales y actitudinales...
 
 

Primera Fase: Contextualización histórica. El origen.

Se utilizará el programa 1 de la serie Universo Matemático: Pitágoras, mucho más que un teorema.

- Búsqueda de información sobre la escuela pitagórica y los pitagóricos.

Época: siglo VI a de C.

Localización geográfica en un mapa: Samos, Crotona, Siracusa.

Influencias en Platón: Timeo.

- Doctrina pitagórica de los números.

Números naturales y poligonales: triangulares, cuadrados, pentagonales....

Razón y proporción: proporción "continua", sección áurea.

Números y armonía musical

- Geometría:

Teorema de Pitágoras: antecedentes.
 
 

 UNIVERSO MATEMÁTICO. PITÁGORAS: MUCHO MÁS QUE UN TEOREMA

IDEAS DEL PROGRAMA

1. Presentación: cráteres de la Luna con nombres de matemáticos
2. Pitágoras el más popular
3. Historia del teorema de Pitágoras
4. Demostración de los chinos
5. Vida de Pitágoras. Sus viajes
6. Precedentes en Egipto
7. Cultura babilónica. La tablilla Plimpton y las ternas pitagóricas
8. La orden pitagórica. Las cuatro ramas del saber
9. La armonía musical
10. Números triangulares
11. Números perfectos
12. Teoría geocéntrica
13. Demostración del Teorema de Pitágoras.
14. Números irracionales.  y F
15. El pentagrama: la estrella pitagórica y la sección áurea.

 
 
 A pesar de la inagotable fuente de actividades que el vídeo puede sugerir nos vamos a centrar en las que dieron origen a la Teoría de Números, en concreto a las relacionadas con los números poligonales.

Segunda fase: Investigando los números poligonales

Se plantea a los alumnos una investigación de carácter lúdico, por la aparente falta de complejidad, de este tipo de números. El profesor ha de recalcar la idea de que los pitagóricos tenían una noción intuitiva de número asociada a un punto, no tan abstracta como la que podemos tener en la actualidad.

Por otra parte se ha de resaltar el hecho de que eran fundamentalmente geómetras con un escaso desarrollo de la aritmética al no contar con ningún sistema de numeración ágil y flexible, (de ahí su necesidad de objetivar el concepto de número a través de puntos o como relación entre segmentos)

Actividad de investigación para los alumnos

Material: Vídeo NÚMEROS TRIANGULARES Y NÚMEROS CUADRADOS.

PROGRAMA 19. Serie Ojo Matemático
 
 

Hoja para el alumno

MODELOS NUMÉRICOS

1. Números triangulares.

Podemos representar los números enteros mediante colecciones de puntos. Cada punto representa una unidad. Los siguientes números se pueden disponer formando un triángulo. Se les llama números triangulares.
 
 

g) ¿Cuántos choques de mano se producen cuando se encuentran 5 amigos? _______________

h) ¿Y si son 6?

i) ¿Y si fueran 8?

Encuentra una fórmula general que nos proporcione el número de choques de mano cuando haya n personas. Encuentras alguna relación entre esta fórmula y los números triangulares.

En el vídeo el tendero intenta construir pirámides triangulares en las que cada piso esta formado por un número triangular de rollos de papel. Según subimos en la pirámide cada piso es el número triangular anterior hasta llegar a 1.

j) ¿Cuántos rollos se necesitan para construir una pirámide de 7 pisos? ____________________

k) ¿Se puede construir una pirámide triangular con 140 rollos? ______

l) ¿Cuántos pisos tendría la pirámide triangular mas grande que podría construir sin pasarse de esos 140 rollos? ___________________________________

m) ¿Cuántos de los 140 le sobrarían? ______________________________________________

2. Números cuadrados

Los números cuadrados son aquellos cuyos puntos forman un cuadrado. Coinciden con los cuadrados de los números enteros.

Comprueba que todo número cuadrado es suma de números impares consecutivos empezando por 1:

1 = 1; 1 + 3 = 4; 1 + 3 + 5 = 9 ; 1 + 3 + 5 + 7 = 16

o) Escribe los 6 primeros términos de las secuencias de los números triangulares y cuadrados:

N^os Triangulares: ___ , ___ , ___ , ___ , ___ , ___

N^os Cuadrados: ___ , ___ , ___ , ___ , ___ , ___

Compara ambas secuencias. Escribe la relación que hay entre los números triangulares y los cuadrados.

Las pirámides cuadradas se forman igual que las triangulares, pero ahora cada piso está formado por un número cuadrado. Según asciendes cada piso es el número cuadrado anterior hasta llegar a 1.

Hay una relación entre las pirámides triangulares y las cuadradas. Para descubrirla haz estos cálculos:

p) ¿Cuántos rollos tiene una pirámide triangular de 5 pisos? _______________

q) ¿Cuántos rollos tiene una pirámide triangular de 4 pisos? _______________

r) ¿Cuántos rollos tiene una pirámide cuadrada de 5 pisos? _______________

s) Escribe la relación que hay entre las pirámides cuadradas y las triangulares:

3. Números pentagonales y hexagonales

t) Escribe los diez primeros números pentagonales. Intenta encontrar una fórmula para obtener cualquier número pentagonal.

u) Haz lo mismo con los números hexagonales.

Con estas actividades hemos podido abordar un alto porcentaje de contenidos del bloque de Números del curriculum. Pero hay algo más: los materiales utilizados y la gradación de los niveles de dificultad de las preguntas planteadas nos permite realizar en el aula un tratamiento preciso y claro de la diversidad de los alumnos: no todos van a conseguir responder a todas las preguntas y sobre todo no lo van a hacer siguiendo los mismos métodos ni con el mismo nivel de rigor y precisión.

Como el desarrollo de las actividades se produce en al menos tres sesiones, se pueden introducir dinámicas de trabajo en pequeños grupos con intereses o niveles parejos o complementarios que posibiliten al alumno un contraste de opiniones con sus compañeros y construir conocimientos a partir de las ideas propias y ajenas.

Pero la ventaja de esta investigación, que no olvidemos ha surgido de una exploración histórica, es que deja puertas abiertas para seguir profundizando en el estudio de regularidades numéricas más complejas que nos pueden llevar de manera natural, (la actividad de los choques de manos ya nos lo sugiere de manera clara), al estudio de técnicas de recuento relacionadas con el azar y la combinatoria.

De hecho si observamos el triángulo de Pascal, en la diagonal marcada aparecen los números triangulares, pero además en la inmediata inferior aparecen los números tetragonales, es decir, los que forman las pirámides triangulares, cuyos pisos son a su vez números triangulares.

Bastante más fácil es descubrir que en la diagonal superior aparecen los números naturales.

Como se puede observar sin mucho esfuerzo el triángulo de Pascal es algo mucho más rico en relaciones numéricas que lo que tradicionalmente habíamos pensado al limitarlo a una mera tabla de coeficientes del desarrollo del binomio de Newton.

Como sugerencia, y una vez que el profesor haya explicado cómo se obtienen los números del triángulo de Pascal (cada uno es la suma de los dos que tiene encima), podemos preguntar a esos alumnos que siempre nos demandan profundizar un poco más qué pasaría si cambiamos los unos de uno de los lados externos del triángulo de Pascal por doses.

¿Qué relaciones numéricas se pueden encontrar?
 
 
 
 
 
 

¿Qué sucedería si en lugar de doses colocamos treses o cuatros?

Es fácil concluir, y los alumnos también saben ver, que sucesivas modificaciones en los lados del triángulo de Pascal en uno de los lados nos van a permitir general diagonales en las que aparecen los números poligonales de distinto orden y a continuación los números piramidales correspondientes.

El triángulo de Pascal

se ha convertido en una fuente casi inagotable de modelos meramente aritméticos para realizar investigaciones empíricas sobre números poligonales y piramidales, sin haber recurrido aún en ningún momento a un tratamiento algebraico.
 
 

Tercera fase: Actividades de profundización. Teoremas visuales y tratamiento algebraico.

A alguien le puede parecer que los números poligonales no justifican una inversión de tiempo en el desarrollo del curriculum de la ESO. Está muy equivocado. Estos números han sido una de las preocupaciones de numerosos matemáticos a lo largo de la historia y una inacabable fuente de sorpresas y de resultados nada elementales, muchos de los cuales sin embargo pueden ser obtenidos y formulados algebraicamente mediante un proceso guiado de modelización por alumnos de esta etapa y/o de bachillerato.

El 1796 Gauss escribía en su cuaderno científico, una de las joyas más preciadas de la historia de las matemáticas, una nota escueta, aunque no tan enigmática como otras muchas que le sucederían:

¡¡Eureka!! N = D + D + D

En ella Gauss, recién cumplidos los 19 añ±os, celebra haber descubierto que todo número natural es la suma de, a lo sumo, tres números triangulares.
 
 

No se quedó ahí, en sus Disquisiciones Aritméticas, publicadas cinco años después de esta anotación, Gauss, nos brinda la demostración no solo para números triangulares sino también nos demuestra que todo número entero es suma de, a lo sumo, cuatro números cuadrados.

No habrá que esperar mucho tiempo para ver demostrada la conjetura general, todo entero es suma a lo sumo de n números n-poligonales. Sería en 1815 en una de las dos memorias que Augustin-Louis Cauchy presentó a la Academia de Ciencias de París.

Por supuesto que no vamos a perseguir la obtención de las demostraciones de estos resultados. Basten simplemente como ejemplo del potencial matemático de unos números en apariencia anodinos y sobre todo mucho más ricos que las meras progresiones.
 
 
 
 

Aspectos metodológicos y de contenidos curriculares

La elección de este tema está en su enorme facilidad de modelización geométrica y por tanto visual y también aritmética. En efecto, al considerar los números como puntos materiales, como guijarros, se pueden realizar con ellos configuraciones geométricas claras.

Así tres puntos formarán un triángulo. Si a estos tres puntos les añadimos otros tres seguimos teniendo un triángulo, y lo mismo ocurre si a éste le añadimos cuatro puntos.

Es decir los números 1, 3, 6, 10, 15... son números triangulares.

Números triangulares

Esta visión geométrica les permitió obtener los primeros resultados generales sobre propiedades de los números naturales.

Algunos evidentes, al fin y al cabo eso es lo que significa la palabra griega "teorema", lo que se contempla, lo que se ve; aunque nada simples si los miramos con ojos exclusivamente aritméticos:

T₁ = 1

T₂ = 1+2

T₃ = 1+2+3

...

T_n = 1+2+3+...+n
 
 

Enunciado en forma de teorema:

"La suma de los n primeros números naturales es un número triangular"

Formulado algebraicamente: 
 
 

De forma mucho más clara con los números 4, 9, 16, 25... podemos formar cuadrados. Junto al 1 constituyen los números cuadrados.

Números cuadrados

O bien:

C₁ = 1
C₂ = 1+3

C₃ = 1+3+5

...

C_n = 1+3+5+...+n
 
 

"La suma de los n primeros números impares es un número cuadrado"

O en forma algebraica

n² = 1 + 3 + 5 + ... +(2n -1)

O este otro:

C_n = T_n + T_n-1
 
 

"Todo número cuadrado es suma de dos números triangulares consecutivos"
 
 

Siguiendo con esta visión geométrica, es inmediato descubrir los números pentagonales: 1, 5, 12, 22...

Números pentagonales

O los hexagonales: 1, 6, 15, 28...

En todos los casos las series numéricas son sumas parciales de los primeros términos de progresiones aritméticas cuyo primer término es siempre 1 y cuya diferencia es d. Siendo d el número de lados del polígono asociado a la serie menos dos unidades, es decir, d = 1 para números triangulares, d = 2 para cuadrados, d = 3 para los pentagonales...

 
 
 
 

Estos teoremas visuales se pueden generalizar, así, para los números pentagonales

De la Imagen al Álgebra:

Generalizando estos resultados visuales es fácil llegar a una formulación algebraica general para números poligonales de cualquier orden

N _n,d = T _n + (d-3)T _n-1

N _n,d = 1/2 (n+1) n + 1/2 (d-3) n (n-1)
 
 

N _n,d = n + 1/2 n (n-1) (d-2)

N _n,d = n + (d-2) T _n-1

A este tipo de resultados, por supuesto, no formulados algebraicamente ya llegó en el siglo II antes de Cristo Hipsicles de Alejandría.

Aunque no llegaran a efectuar demostraciones generales de las relaciones entre los distintos tipos de números poligonales sembraron la semilla de la curiosidad en un campo abonado. Un campo que va reclamar la atención de matemáticos de todas las épocas.

Nicómaco de Gerasa llegó a descubrir resultados generales de interés como el hecho de que el cubo de todo número entero n, es la suma de n números impares consecutivos:

1³ = 1;

2³ = 3+5;

3³ = 7+9+11;

4³ = 13+15+17+19...

Lo que le permitió llegar a resultados genéricos como los que iniciaban esta comunicación acerca de la suma de los n primeros cubos:

1³+2³+3³+...+n³ = 1+3+5+7+...+n(n+1)-1= (1+2+3+...+n)²

Diofanto de Alejandría ( s. III d. de C) además de su famosa Aritmética, escribió otro libro, del que por desgracia sólo se conservan fragmentos, sobre los números poligonales, en el que la idea de su construcción se extiende al espacio, haciendo su aparición los números piramidales, que se obtienen apilando en capas los sucesivos números poligonales de un mismo orden.

Los números piramidales de base triangular se obtienen a través de las sumas parciales de los números triangulares, también se les conoce como números tetragonales.

Son: 1, 4, 10, 20...

Los pirámidales cuadrados son: 1, 5, 14, 30...

Los de base pentagonal: 1, 6, 18, 40...

A pesar de contar con un modelo geométrico claro, la obtención de fórmulas algebraicas generales para obtener directamente estos números ya no es tarea tan simple.
 
 

La curiosidad sobre estos números va a llegar a la Edad Media gracias a las obras de Nicómaco de Gerasa y sobre todo de Boecio, cuyas obras, la Aritmética y las Consolaciones de la Filosofía, van a constituir una de las escasas fuentes de alimentación de las matemáticas hasta la llegada de las traducciones de las obras griegas realizadas por los sabios islámicos.

En muchos de los manuscritos medievales inspirados en las obras de Boecio podemos encontrar referencias gráficas de los números poligonales como la de la figura adjunta, en la que aparecen los números poligonales distribuidos en forma de tabla.

Esta disposición en forma de tabla de doble entrada sugiere la búsqueda de relaciones más generales que las encontradas por los pitagóricos entre los números cuadrados y los triangulares.
 
 

De hecho, si traducimos la tabla a una tabla numérica será fácil obtener alguna de estas relaciones

Ahora es fácil comprobar que la relación de los números cuadrados con los triangulares,

C_n = T_n + T_n-1 , es un caso particular de una ley más general:

"Todo número poligonal es la suma del poligonal del mismo orden y de una dimensión inferior más el número triangular de orden inferior"

Es decir, P₅ = C₅ + T₄.

Y en general N_d,n = N_d-1,n + N_3,n-1

Y por recurrencia es fácil obtener una regla algebraica para obtener un número poligonal de dimensión d y orden n utilizando sólo números triangulares:

N_d,n = T_n + (d -3) T_n-1

De donde es elemental obtener la fórmula algebraica general:

Sin embargo en ningún manuscrito medieval, ni tan siquiera en el famoso Liber Abaci de Leonardo de Pisa, que también dedica un capítulo a estos números se obtiene un resultado general de este tipo.

En el siglo XVII, Pierre de Fermat, es otro de los grandes matemáticos que va a dirigir su atención sobre los números poligonales, pero esta vez para lanzar uno de sus retos en forma de conjetura:

"Todo número entero puede expresarse mediante suma de, a lo sumo, n números n-gonales"

¡Y ya sabemos el poderoso influjo que las conjeturas de Fermat ejercieron sobre los matemáticos posteriores!

Todos estos resultados pueden ser obtenidos por los alumnos utilizando de forma razonable las sugerencias del vídeo "Números triangulares, números cuadrados" de la serie Ojo Matemático y algo que no puede dejar de mencionarse: las orientaciones, impulsos, sugerencias y la paciencia del profesor.

Porque no debemos olvidar que en definitiva es la práctica docente del profesor la que podrá conseguir que los alumnos actúen como verdaderos investigadores matemáticos.

Lo que si es cierto es que al final bastantes alumnos terminarán la investigación con la satisfacción de mirar cara a cara a matemáticos como Hipsicles, Nicómaco, Boecio y Luca Pacioli y poder decirles... "Yo también sé hacer matemáticas"
 
 
 

CÓNICAS

NIVEL: 4º ESO OPCIÓN B

SERIE MÁS POR MENOS

CÓNICAS: DEL BALONCESTO A LOS COMETAS. TVE
 
 

REQUISITOS PREVIOS :

En una o dos sesiones previas, en clase normal, se habrá realizado un estudio de la circunferencia como lugar geométrico, deducido su ecuación y resuelto ejercicios de obtención de la ecuación de la circunferencia conocidos el centro y el radio, el centro y dos puntos y tres puntos de la misma.

OBJETIVOS GENERALES :

• Identificar las distintas cónicas en la vida real.
• Estudiar las propiedades métricas de las distintas cónicas y sus ecuaciones.
• Dibujar cada una por métodos sencillos.
• Estudiar el significado de cada parámetro dentro de las ecuaciones.
• Estudiar las propiedades físicas de las superficies basadas en las cónicas: reflexiones.
• Ver la aplicación de las cónicas en Astronomía

NIVELES:

Todos según las actividades que se propongan. El visionado se recomienda para los alumnos con mayores dificultades de aprendizaje
 
 
 
 
 
 

IDEAS DEL PROGRAMA

1. Presentación. Obtención de las cónicas proyectando la luz de una lámpara.
2. Secciones del cono en una probeta.
3. La elipse: Kepler, construcción de la elipse. Propiedades métricas. Propiedades físicas. Aplicaciones en Arquitectura, Presencia en los deportes y en la Naturaleza.
4. La parábola: presencia en fenómenos naturales. Antenas, propiedades físicas.
5. Construcción de la parábola. Propiedades métricas.
6. La hipérbola en fenómenos naturales: centrales térmicas, cargas eléctricas.
7. Definición métrica y construcción.

FICHA DE ACTIVIDADES SUGERIDAS POR EL VÍDEO

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS

La experiencia consiste en trabajar el tema de cónicas utilizando el vídeo como material didáctico. La idea fundamental es hacer un estudio breve de la circunferencia en una clase normal, estudiar sus ecuaciones y realizar algún ejercicio y después estudiar el resto de las cónicas en cuatro sesiones, una utilizando el vídeo para el visionado del programa "Cónicas: Del baloncesto a los cometas" de la serie Más por Menos de la Aventura del Saber. TV2.

El vídeo de 15 minutos de duración proporciona una información visual sobre:

• cómo se obtienen al hacer la intersección de dos superficies cónicas unidas por el vértice con un plano.
• las propiedades métricas fundamentales de las cónicas.
• cómo se dibujan utilizando una cuerda y distintas tramas.
• propiedades físicas de las distintas cónicas y de sus sólidos de revolución

Se utiliza el vídeo haciendo un visionado para todo el grupo, dirigido por el profesor que deberá remarcar las ideas fundamentales y reforzar las definiciones de los elementos de cada cónica y de sus propiedades métricas. El visionado se dividirá en cuatro partes:

• Las cónicas como secciones de un cono. Introducción histórica.
• La elipse. Construcción con una cuerda. Propiedades métricas. Propiedades físicas.
• La parábola. Construcción mediante tramas. Propiedades métricas. Propiedades físicas.
• La hipérbola. Construcción mediante tramas. Propiedades métricas. Propiedades físicas.

Los alumnos dispondrán de un guión de visionado para centrar los temas de interés. En dicho guión irán apuntando las respuestas a las preguntas que se les formulen a lo largo del visionado del vídeo, fundamentalmente las definiciones y propiedades métricas de las distintas cónicas

Actividades posteriores al visionado (a realizar en equipos):

1. Obtener las distintas cónicas mediante la construcción de conos con cartulinas (cucuruchos) y su corte con un cutter siguiendo planos con inclinaciones distintas. Dibujar en el plano, utilizando los cortes efectuados, las cuatro cónicas.
2. Dibujar las cuatro cónicas por los procedimientos indicados en el vídeo y por plegado. Escribir los elementos y las propiedades métricas que caracterizan a cada una de ellas.

GUIÓN DE VISIONADO PARA LOS ALUMNOS

Red de contenidos del vídeo.
 
 

• Las cónicas se obtienen al cortar dos superficies cónicas opuestas por el vértice mediante un plano.
• Ejemplos de objetos y situaciones de la vida real en que aparecen cónicas.
• Según la inclinación del plano respecto del eje del cono obtenemos las distintas cónicas: circunferencia, elipse, parábola e hipérbola.

Elipse

• Construcción de la elipse. Propiedad fundamental.
• Definición como lugar geométrico: ( completa esta definición )

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano que verifican que ...
 
 
 
 

• Propiedades físicas de las elipses. Órbitas planetarias. Kepler

Parábola

• Propiedad fundamental.
• Definición como lugar geométrico: ( completa esta definición )

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que verifican que...
 
 

• Construcción de la parábola.
• Situaciones físcas en que se presenta. Galileo.
• Propiedades físicas. Antenas.

Hipérbola

• Propiedad fundamental.
• Definición como lugar geométrico: ( completa esta definición )

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano que verifican que...
 
 

• Construcción de la hipérbola.
• Situaciones físicas en que se presenta.
• Asíntotas. Las moléculas cargadas eléctricamente describen hipérbolas en sus movimientos.

 
   GUIÓN PARA FIJAR LOS CONTENIDOS DEL VÍDEO
 
 

1.- ¿Qué curvas dibuja la superficie de un líquido en un vaso?
 
 

 2.- ¿Qué curvas dibuja la sombra de una lámpara sobre la pared?
 
 

 3.- ¿ Cuándo se descubrieron las cónicas por primera vez? ¿Quién lo hizo?
 
 

 4.- ¿Por qué esas curvas se llaman cónicas?
 
 

 5.- ¿Qué descubrió Kepler en el siglo XVII con respecto al movimiento de los planetas?
 
 

 6.- ¿Qué propiedad geométrica caracteriza a todos los puntos de una elipse?
 
 

 7.- ¿Qué descubrió Galileo con respecto al lanzamiento de proyectiles?
 
 

 8.- ¿Qué ocurre si un haz de rayos paralelos incide sobre una parábola?
 
 

 9.-¿Qué propiedad geométrica cumplen todos los puntos de una parábola?
 
 

 10.- ¿Qué propiedad geométrica cumplen todos los puntos de una hipérbola?
 
 
 

ACTIVIDADES POSTERIORES AL VISIONADO
 
 

1. Construcción de una superficie cónica en cartón y trazado de sus secciones.
2. Construcción de tampones para obtener las distintas cónicas
3. Construcción de una elipse en una cartulina con una cuerda.
4. Aplicación del método del jardinero para resaltar la propiedad métrica de los puntos de al elipse
5. Otras formas de construcción: molde de tarta circulares, plegados. Billar elíptico.
6. La elipse en Astronomía. Kepler y las teorías sobre el sistema solar. Leyes de Kepler.
7. Se puede introducir el tema con el vídeo "Las Leyes de Kepler" de la serie Universo Mecánico
8. Estudio de antenas parabólicas y linternas. ¿Dónde está el foco?
9. Comprobación práctica de las propiedades de reflexión de la parábola
10. Interdisciplinar: lanzamiento a canasta.
11. Localización del foco y del vértice en distintos tiros
12. Distintas formas (no analíticas) de construcción de una parábola: retículas, plegados, métricas...
13. Localización del foco y la directriz de parábolas reales.
14. Investigación: Rectángulos de igual perímetro
15. ¿Qué cónica aparece?
16. Detección de hipérbolas e hiperboloides en la realidad
17. Construcción por distintos métodos de hipérbolas: retículas, plegados, métricas...
18. Investigación: Rectángulos de igual área
19. ¿Qué cónica aparece?
20. No todas las curvas son cónicas.Curvas parecidas
21. Generando cónicas mediante círculos

Vídeo de Nicolet (Generando cónicas) y aplicación con CABRI
 
 

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