PLEGADO

 


Ficha de material

Actividad de plegado para el estudio de los triángulos equiláteros.

Teorema de Pitágoras en triángulos equiláteros

Actividad de plegado para el estudio de los triángulos isósceles.

Demostración de teoremas sobre triángulos rectángulos

 


 

FICHA DEL MATERIAL

Título

Actividades de tipo mixto para el estudio de las extensiones de los teoremas de Pitágoras y Thales a las distintas clases de triángulos.

Descripción del material

Estructura

Conjunto de actividades dirigidas consistentes en construcciones y análisis de triángulos según la siguiente secuencia:

 

 

Curso y nivel

4º de E.S.O. en ambas modalidades y todos los niveles

Finalidad

Construir varios itinerarios de aprendizaje de tipo progresivo, en el que cada alumno llegará al nivel que pueda, garantizando tan sólo el objetivo mínimo de cada actividad.

Prerrequisitos

Conocer y haber aplicado los teoremas de Thales y Pitágoras

Saber distinguir los distintos tipos de triángulos y sus propiedades y elementos

Tener nociones de igualdad de figuras y semejanza

Objetivos

Construcción de triángulos isósceles, equiláteros y rectángulos de papel mediante plegado.

Repaso de los teoremas de Thales y Pitágoras.

Descubrimiento los teoremas de la Altura y del Cateto.

Comprobación de las relaciones descubiertas mediante medidas.

Uso de técnicas algebraicas sencillas y de cálculo para la aplicación de estos teoremas

Ampliación de objetivos hasta llegar al planteo de ecuaciones de segundo grado.

Objetivos por niveles

Este material está concebido para facilitar la atención a la diversidad mediante una progresión de objetivos y profundidad de temas que permita la adaptación de los alumnos a la tarea según sus conocimientos previos y capacidades. Se pueden distinguir cuatro niveles de profundidad:

Nivel I

Construir triángulos de papel mediante plegado y recortado.

Observar, mover y descubrir simetría, semejanzas e igualdades.

Nivel II

Razonar elementalmente sobre lo experimentado.

Distinguir elementos y describirlos.

Realizar alguna otra construcción según lo aprendido.

Nivel III

Aplicar los teoremas fundamentales para obtener otros nuevos o fórmulas particulares de cada construcción.

Comprobar las igualdades obtenidas mediante medidas sobre el papel.

Nivel IV

Aplicar lo aprendido mediante actividades propuestas.

Usar ecuaciones en problemas de aplicación.

Metodología

Los alumnos se dividirán en equipos de dos o tres, con la coordinación continua del profesor.

A cada equipo se le entregará una hoja de instrucciones que sólo servirá para coordinar bien el trabajo, resolver dudas y admitir la expresión de resultados.

Material

Folios usados, tijeras, hoja de instrucciones, regla graduada y calculadora


1. Actividad de plegado para el estudio de los triángulos equiláteros

 

Hoja para el alumno

 

Esta guía es sólo orientativa, para que no se te olvide ningún paso.

El trabajo será colectivo dialogando con tus compañeros y profesores.

  • Las respuestas a las cuestiones deberás escribirlas en este documento.
  • CONOCIMIENTOS PREVIOS

    "En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual

    a la suma de los cuadrados de los catetos"

     

     

    CONSTRUCCIÓN DE UN TRIÁNGULO EQUILÁTERO

    Toma un folio cualquiera, aunque tenga algo escrito y dóblalo por su lado

    menor para señalar la línea que lo divide en dos partes iguales:

     

    Después dobla con cuidado ese lado menor de forma inclinada hasta que el vértice del rectángulo caiga sobre la línea recta central. Estira después el papel hasta doblarlo en línea recta.

    Al principio es difícil y puede que no lo consigas bien.

     

     

     

    Al final, con el papel doblado y recto debe quedar así

     

     

     

    Ahora dobla la parte posterior del folio siguiendo la línea inclinada

    pequeña y recorta la parte sobrante para que quede la forma

    de un triángulo equilátero:

     

     

    Finalmente, recorta la línea de plegado superior para eliminar la parte de papel que

    está repetida. El triángulo que has conseguido es equilátero. No será perfecto, porque el doblado inicial no siempre sale bien.

     

    Puede ser interesante que construyas dos o tres triángulos iguales, para comprobar si han salido perfectos o no y poder elegir el mejor.

    ¿Por qué este triángulo es equilátero? ¿tiene sus lados y ángulos iguales?

    ¿Cómo lo comprobarías?

    (Puedes usar un solo triángulo y doblarlo convenientemente o bien usar dos triángulos iguales).

    Describe aquí qué has hecho para comprobarlo. Incluso puedes dibujar las operaciones:

     

     

     

    Con lo que has hecho, ¿has descubierto alguna simetría?

     

     

     

    ¿Has usado algún giro? Si no es así, intenta comprobar que los lados y ángulos son iguales mediante dos triángulos iguales superpuestos.

     

     

    Resumen:

    ¿Cuántos ejes de simetría tiene un triángulo equilátero? _________________________

     

    Haz un dibujo aquí en el que se vean bien:

     

    ¿Cuántos giros se pueden dar a un triángulo equilátero para que coincida consigo mismo?

     

    Rotula los vértices con A, B y C y dibuja aquí las posiciones que pueden tener:

    Con lo que has aprendido intenta, mediante plegados y simetrías, recortar alguna figura parecida a esta, basada en un triángulo equilátero:

     

     

     

     

     

     


    2. Teorema de pitágoras en triángulos equiláteros

     

    Toma uno de los triángulos equiláteros que has construido y rotula sus tres lados con la letra a y la altura con la letra h. Divide el triángulo, mediante la altura en dos mitades, que serán triángulos rectángulos:

     

     Intenta aplicar el Teorema de Pitágoras en ese triángulo mitad: La hipotenusa es a, un cateto h y el otro cateto, ¿qué tiene que ver con a?

    Escribe aquí lo que resulte y simplifica todo lo que puedas (pide ayuda en los últimos pasos):

     

     

     

     Al final te debe quedar que

     

    Intenta extraer la raíz cuadrada de los dos miembros (también con ayuda si es necesario) y así obtendrás una fórmula para hallar la altura:

    h =

     

    Con la calculadora se puede obtener esta regla práctica:

    "La altura de un triángulo equilátero se obtiene, de forma aproximada, multiplicando el lado por el número 0,866"

    Si tienes buena memoria te la puedes aprender, que te será muy útil.

     

    COMPROBACIÓN APROXIMADA

     

    Mide el lado de tu triángulo y su altura, y comprueba si se cumple lo anterior de forma aproximada:

    Medida de a: ___________ Medida de h: ________________

    Producto de a por 0,866: 0.866× a = ____________________

     

     

    EJERCICIOS PARA QUE USES ESTA FÓRMULA:

    1. Los lados de un triángulo equilátero miden 16 cm. ¿Qué área tiene?

     

     

     

     

    2. Halla la anchura, la altura, el área y los cm de varilla necesarios para montar esta red, si todos los triángulos son equiláteros (o la mitad de un equilátero) cuyos lados miden 4 cm.

     

     

      

  • 3. Ídem para formar esta estrella si todos los triángulos son equiláteros de lado 3 cm.
  •  

     

     

    4. Construye con plegados un cuadrado y un triángulo equilátero, ambos de lado 10 cm. Comprueba que no se puede inscribir el triángulo equilátero en el cuadrado, es decir, que esta figura es imposible: o el triángulo no es equilátero o la otra figura no es un cuadrado.

     

    Si se intenta que la altura del triángulo coincida con la del cuadrado, ¿cuántos cm. sobrarían a cada lado en la base? Calcúlalo con el Teorema de Pitágoras o con la fórmula que has descubierto: h=0,866a

     

     

     

    Si se opta por hacer coincidir las dos bases, ¿cuánto faltaría de altura?

     

     

    5. Se sabe que si en una circunferencia se divide un diámetro en cuatro partes iguales y sobre la tercera se construye un triángulo inscrito, éste resulta ser equilátero. (Ver figura)

     

     

    Dibuja una circunferencia de radio 5 cm. con un compás y mediante plegados intenta señalar los tres lados de un triángulo equilátero.

     

    ¿Cuánto debería medir en teoría el lado de ese triángulo?

    Planteo:

     

     

    ¿Cuánto mide en realidad?

     

    ¿Qué error se ha cometido en la construcción?

     

     


    3. Actividad de plegado para el estudio de los triángulos isósceles.

     

    Esta guía es sólo orientativa, para que no se te olvide ningún paso.

    El trabajo será colectivo dialogando con tus compañeros y profesores.

    Las respuestas a las cuestiones deberás escribirlas en este documento.

     

    CONOCIMIENTOS PREVIOS

    "En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual

    a la suma de los cuadrados de los catetos"

     

    CONSTRUCCIÓN DE UN TRIÁNGULO ISÓSCELES

    Toma un folio cualquiera, aunque tenga algo escrito y recorta uno de sus lados para que siga siendo un rectángulo pero de distinta forma. Si formáis equipo procurad que cada persona corte de forma diferente.

    Para que el corte sea paralelo a un lado procura doblar bien el folio antes de recortar, haciendo coincidir unas partes de los lados con otras.

    Puedes cortar paralelamente al lado mayor o al lado menor según desees un triángulo más alto o más bajo.

     

     

    Pliega ahora por la mitad el rectángulo que has recortado y dobla los laterales para formar un triángulo. Recorta los dos lados inclinados:

     

     

      

    ¿Es isósceles el triángulo que hemos construido?

     

    Escribe aquí la definición de triángulo isósceles que recuerdes:

    Rotula los vértices con las letras A, B y C, los lados inclinados ambos con b, la altura con h y la base con a. Así:

    Escribe aquí qué lados y ángulos son iguales entre sí:

     

     

    ¿Cualquier elemento de la izquierda es igual a otro de la derecha?

     

    ¿Cuál es entonces el eje de simetría del triángulo isósceles?

     

    Demuéstralo con un plegado: Dobla el triángulo por la altura y haz un ligero corte en el papel por el lado inclinado. Extiende de nuevo el triángulo y observa que ahora hay dos cortes simétricos.

     

     Si unes los dos cortes con un segmento (hazlo con plegado) ¿es paralelo a la base?

     

     

    Une los dos agujeros y si a uno le has llamado M, al otro lo rotulas con M’

     

     ¿Cómo divide la altura al segmento MM’?

     ¿Es la altura perpendicular al segmento MM’?

    ¿Te atreverías a escribir las dos condiciones que tienen que cumplir una pareja de puntos M y M’ para que sean simétricos respecto a la altura?

    Haz una copia del triángulo isósceles sobre otro folio y conviértelo, mediante plegado y recortado en una figura simétrica decorativa, algo así como la siguiente:

     

     

     

    TEOREMA DE PITÁGORAS PARA TRIÁNGULOS ISÓSCELES

    Las dos mitades de un triángulo isósceles son dos triángulos rectángulos. Observa:

    La hipotenusa es el lado b y un cateto la altura h

    ¿Cuál es el otro cateto? _____________________

     

    Intenta escribir el Teorema de Pitágoras

    con esos tres lados:

     

    Fórmula de Pitágoras con los lados y la altura de un triángulo isósceles:

     

     

     

     

     

     

     

    COMPROBACIÓN APROXIMADA

     

    Lo que vas a hacer ahora sólo tiene carácter aproximado, porque usarás medidas y calculadora, que te van a producir errores, pero aunque sea de forma aproximada se cumplirán los teoremas.

    Mide las longitudes siguientes, dando el resultado en mm.:

    a = b = h=

     

    ¿Se cumple que b2 = h2 + a2/4 ?

     

     

     

     

    EJERCICIOS PARA QUE USES ESTA FÓRMULA:

    1. Con el procedimiento de plegado que has aprendido deberás construir un triángulo isósceles cuya base mida 10 cm. y sus lados iguales inclinados 13 cm. Antes de recortarlo deberás calcular la altura mediante la fórmula anterior.

    Escribe el resultado: h =

     

    2. ¿Qué perímetro tiene este triángulo?

     

     

     

    3. ¿Qué área tiene este otro triángulo isósceles?

     

     

     

     

     

     

    4. Practica la ecuación de segundo grado:

    Un triángulo isósceles de altura 20 cm. tiene la propiedad de que el lado inclinado mide 4 cm. más que la base. ¿Cuánto miden ambos?

     

     

     

    4. Actividad de plegado para la demostración de teoremas sobre triángulos rectángulos

     

     

    Esta guía es sólo orientativa para que no se te olvide ningún paso.

    El trabajo será colectivo dialogando con tus compañeros y profesores.

    Las respuestas a las cuestiones deberás escribirlas en este documento.

    CONOCIMIENTOS PREVIOS

    Para desarrollar esta actividad debes conocer el teorema de Thales para triángulos. Recuerda:

    Según el Teorema de Thales, si dos triángulos tienen dos lados superpuestos y los terceros paralelos entre sí, tendrán los ángulos iguales y los lados proporcionales. Así, en esta figura se cumple:

     

     

    Con este conocimiento vamos a demostrar otros teoremas:

     

    CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

    Toma un folio cualquiera, aunque tenga algo escrito y recorta uno de sus lados para que siga siendo un rectángulo pero de distinta forma. Si formáis equipo procurad que cada persona corte de forma diferente. Después lo pliegas por la diagonal y cortas el rectángulo en dos triángulos rectángulos iguales.

     

     Rotula los vértices de estos dos triángulos por las dos caras con las letras A, B y C para los vértices y , b y c para los lados. Así:

     

      

    A continuación dibuja en los dos triángulos la altura que cae desde el vértice A sobre la hipotenusa a. Para ello debes plegar los triángulos a partir de A de forma que coincidan los dos trozos de la hipotenusa y después dibujar la altura por la línea de plegado.

     

     

     Rotula la altura h dos veces (a izquierda y derecha) y también los segmentos m y n que se forman en la hipotenusa. Divide uno de los triángulos en dos y el otro lo dejas entero:

     

     

     

     ¿Cómo dirías que son estos tres triángulos?:

    o Equivalentes o Iguales o Semejantes o Parecidos

    Explica tu respuesta:

     

     

     

     

     

    Intenta ahora situar el triángulo más pequeño sobre el mediano, de forma que h caiga sobre m:

     

    Observa que los dos triángulos están en la posición de Thales, y por tanto puedes plantear una proporción:

     

     

     

    Inténtalo : ------ = ------- = ------- 

     

     

    La h ha entrado dos veces en la proporción, Encuentra, pidiendo ayuda si la necesitas, a qué equivale h2 y con eso habrás demostrado el Teorema de la Altura. Escribe aquí lo que has descubierto:

     

     

    Teorema de la altura:

    Ahora intentaremos otro teorema, el del Cateto. Para ello has de situar uno de los triángulos pequeños sobre el grande que no has cortado, pero de forma que estén en la posición de Thales para poder plantear una proporción:

     

    Inténtalo : ------ = ------- = -------

    La c ha entrado dos veces en la proporción, Encuentra a qué equivale c2 y con eso habrás demostrado el Teorema del Cateto. Escribe aquí lo que has descubierto:

     

     

     Teorema del Cateto:

     

    Lo que has escrito vale para el cateto c. ¿Cómo quedaría la fórmula con el cateto b?

     

    COMPROBACIÓN APROXIMADA

    Lo que vas a hacer ahora sólo tiene carácter aproximado, porque usarás medidas y calculadora, que te van a producir errores, pero aunque sea de forma aproximada se cumplirán los teoremas.

    Mide las longitudes siguientes, dando el resultado en mm.:

    a = b = c =

     

    h = m = n =

    Comprueba si h2 = m ´ n de forma aproximada:

    h2 = m ´ n =

     

    Haz lo mismo con c2 = b ´ m:

    c2 = a ´ m =

     

     

     

    Igual con b2 = a ´ n:

    b2 = a ´ n =

     

     

    Comenta los resultados:

     

    EJERCICIOS PARA QUE USES ESTOS TEOREMAS:

    1. Todas las cuestiones siguientes versarán sobre el triángulo de la figura, que es rectángulo de hipotenusa a:

    (a) El cateto b mide 4 cm. y el otro c 9 cm. Halla las medidas de a, h, m y n.

     

     

    (b) La altura h divide a la hipotenusa en dos segmentos de medidas 4 cm. y 6 cm. respectivamente. Encuentra la medida de los catetos.

     

     

    (c) Una hipotenusa de 30 cm. es dividida por la altura en dos segmentos m y n, que cumplen que m=3n. Encuentra, por este orden, las medidas de m, n¸ h, b y c.

     

    2. Halla la medida del segmento x de la figura eligiendo los teoremas o fórmulas adecuados de la lista anterior.

      

    3. En el rectángulo ABCD se han dibujado dos perpendiculares r y s a la diagonal AD. Con ello se han producido los segmentos x, y, z y t. Calcula sus medidas. Datos: AB=17 cm., AC=12 cm.

     

     

     

     

     

    4. (a) Halla, mediante el teorema de la altura, los lados de este triángulo isósceles inscrito en una circunferencia. Como ves, el diámetro queda dividido en dos segmentos de longitudes 3 y 7 respectivamente.

     

     

    (b) Si se cambiaran los datos a 2,5 y 7,5 resultaría un triángulo equilátero. Compruébalo.

     

     

    Practica las ecuaciones de segundo grado hallando el valor de x en estos triángulos rectángulos

    (Son rectángulos en A):

     

     

     

     

     

     

     

     

     


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