PROGRAMAS INFORMÁTICOS
Una de las notas características del final del siglo XX y el principio del XXI es, sin lugar a dudas, una revolución tecnológica que ya está produciendo cambios radicales en el control y tratamiento social de la información y en los mecanismos de la comunicación.
Esta Revolución Tecnológica llevada al ámbito escolar, con la integración de las Nuevas Tecnologías en la clase, nos obliga a realizar una profunda revisión de los planteamientos comunicativos que se producen dentro del aula:
- Hasta ahora el profesor era, junto al libro de texto, el monopolizador de la información transmitida al alumno, actuando como intérprete y adaptador de dicho libro. El modelo de comunicación era, por tanto, un modelo unidireccional con pocas o ninguna interferencia externa. La utilización de las nuevas tecnologías informáticas y audiovisuales permiten, tanto al profesor como al alumno, acceder a nuevas y muy diversas fuentes de información de manera cómoda y rápida. El rol del profesor debe sufrir un profundo cambio pasando de mero transmisor a gestor, orientador y dinamizador en la búsqueda de la información y de catalizador en el desarrollo de investigaciones autónomas de los alumnos y alumnas.
- El abaratamiento progresivo, unido a la mejora de las prestaciones, ha conducido en los últimos años a una popularización creciente del uso doméstico del ordenador. Esta tendencia se va a ver incrementada en los próximos años con la incorporación habitual, en numerosos domicilios, de tecnologías informáticas cada vez más potentes y fáciles de manejar: CD-ROM, Internet, lectores de DVD... Los alumnos no sólo van a estar familiarizados con estos instrumentos, sino que van a ser los principales usuarios tanto a nivel privado como a nivel profesional en sus respectivos trabajos en el futuro. Igual que en la actualidad el vídeo es un electrodoméstico familiar en casi todos los hogares, dentro de muy poco tiempo, incluso hoy mismo, lo será el ordenador y las tecnologías multimedia.
- El desarrollo paralelo de las aplicaciones informáticas - software -, su aumento progresivo en calidad y en facilidad para el usuario y su accesibilidad van a producir, a corto plazo y medio plazo, una modificación radical del entorno de aprendizaje del alumno permitiendo un redescubrimiento de los contenidos procedimentales, potenciando la incorporación de actividades múltiples y diversas que faciliten la adquisición y consolidación de conocimientos y facilitando la posibilidad de contrastar hipótesis en situaciones próximas a la realidad.
La integración de los
medios informáticos en el proceso de enseñanza-aprendizaje, incide
de una forma determinante en aspectos metodológicos, aportando una serie
de ventajas:
Estudios geométricos
posibles con el programa Cabri II
Ideas previas
Ventajas del programa Cabri para la creación de materiales
- El programa permite estudiar figuras geométricas en movimiento (como los mecanismos creados por J. A. Mora). Esta facultad nos permitirá:
1. Construcciones
Los alumnos deberán construir figuras con técnicas parecidas a las de dibujo y según las operaciones necesarias repasarán las propiedades de cada figura
Ejemplos
Construcción de isósceles 1.fig
Construye un triángulo isósceles mediante un giro
Construcción de isósceles 2.fig
Construye un triángulo
isósceles mediante un giro
Otros posibles:
Paralelogramos en sus diversas modalidades
Rectas perpendiculares y paralelas
Movimientos y simetrías
2. Situaciones
Se presenta a los alumnos una situación geométrica, como la de dos cuerdas perpendiculares en una misma circunferencia, un triángulo inscrito en la misma o una secante. Sobre esta situación se hacen transformaciones, como mover puntos o rectas. Como consecuencia se derivan propiedades.
Ejemplos
Recta que se corta con una circunferencia formando puntos de corte
Archivo de Cabri: secante.fig
Archivo de texto: La recta
secante
Triángulo inscrito en una circunferencia
Archivo de Cabri: Triángulo
inscrito.fig
3. Máquinas
Pueden ser construidas por los alumnos o presentadas ya hechas. Su objetivo será la realización de alguna construcción o transformación geométrica: igualdad, traslación, paralelismo, etc. mediante la traza dejada por un elemento
Ejemplos de desarrollos con
Cabri
1. Triángulo libre
Figura básica: Triángulo dibujado libremente a partir de tres puntos
Operaciones:
Se mueve un vértice (o dos) del triángulo hasta conseguir un objetivo, al que se llegará mediante condiciones distintas que al final se revelarán equivalentes. Para ello se consigue el objetivo con una condición y a posteriori se comprueban las otras:
a) Convertirlo en isósceles arrastrando uno de sus vértices hasta que
a1) la altura pase por el punto medio
a2) la bisectriz y la mediana coincidan
a3) un lado sea simétrico del otro
a4) se cumpla la igualdad de longitudes
b) Convertirlo en equilátero moviendo dos vértices hasta que
b1) los tres lados tengan igual longitud aproximada
b2) los tres ángulos midan 60º
c) Convertirlo en rectángulo
c1) mediante el cumplimiento aproximado del Teorema de Pitágoras
c2) midiendo un ángulo
de 90º
2. Construcción de distintos tipos de triángulos
a) Construir un triángulo isósceles mediante
a1) un lado y un giro dado
a2) un lado y su simétrico respecto a un eje dado
a3) dos lados de igual longitud
b) Construir un triángulo equilátero mediante un lado y giros de 60º
c) Construir un triángulo rectángulo mediante
c1) dos puntos y una perpendicular
c2) un semicírculo
3. Comparación entre medianas, bisectrices y alturas
Se dibuja un triángulo escaleno y se fijan sus vértices. Se elige un punto en la base y se une con el vértice opuesto. El movimiento de este punto nos dará las claves para
a) Distinguir bien entre mediana y bisectriz
b) Su coincidencia si hacemos isósceles el triángulo
c) Relación métrica
entre los dos segmentos contenidos en la base.
EJEMPLOS DESARROLLADOS
Práctica con el programa Cabri II
Comienzo
Busca el programa Cabri en tu ordenador: o con un icono en el escritorio o mediante la serie de órdenes Inicio – Programas – Cabri.
En todo este documento nombraremos los botones del programa por su número de orden, ya que su dibujo puede cambiar cuando se usan.
Primer botón Segundo Tercero etc.
Pide Archivo – Abrir para cargar el archivo que se llama secante.fig. Tus profesores te indicarán en qué carpeta está.
Verás un dibujo en el que una recta (en realidad semirrecta) corta a una circunferencia.
Pulsa con el botón izquierdo del ratón sobre la recta y espera un poco hasta que la flecha del ratón se convierta en una mano pequeña que coge la recta. Sin soltar el botón, mueve la recta arrastrándola con el ratón.
Verás que algunos puntos se mueven con ella.
Observa
¿Qué puntos importantes ves en la
figura? ____________________
De ellos ¿cuáles se mueven al mover la recta? ____________________
¿Qué es el punto O? _____________________________
¿Cómo explicarías qué puntos son M y N? ______________________________
_________________________________________________________________
Es decir, P es el punto _________ de M y de N.
Observa ahora el ángulo que se forma en el punto P, entre PO y PM. ¿Cómo es ese ángulo siempre, aunque muevas la recta? __________________________
Sigue arrastrando la recta. En cierta posición desaparecen los puntos M y N. En esa caso la recta y la circunferencia no se cortan: son exteriores una a la otra.
Intenta que los puntos M y N se acerquen tanto que se confundan con P.
¿Recuerdas cómo se llama la recta en esa posición?:
Es _____________ a la circunferencia.
Ahora intenta que M y N estén lo más separados posible. Explica qué ha de ocurrir para lograr la máxima distancia: ______________________________________
Señala ahora con el ratón la circunferencia. Arrástrala y verás cómo cambia su radio. Intenta conseguir que la circunferencia sea tangente a la recta.
¿Qué le ocurre al punto P?: __________________________________
Y a la distancia OP, ¿que le ha ocurrido? : ______________________________
Experimenta
Construye
una simetría axial. Para ello debes buscar en el sexto botón del
Cabri la palabra "Simetría axial" y el botón cambiará su
dibujo por el siguiente:
Pide el simétrico de la circunferencia con respecto al segmento OP
¿Qué ocurre? __________________________________________________
_______________________________
Efectivamente, el eje OP divide a la circunferencia en muchos puntos y líneas simétricos, por ejemplo M con N. ¿Qué otras partes de la circunferencia son simétricas respecto a OP?
______________________________________________
Calcula
Mediante el tercer botón del Cabri dibuja el segmento OM. De esa forma obtienes el triángulo rectángulo OPM. ¿Cumplirá el Teorema de Pitágoras aunque se mueva la M? Para comprobarlo mide las longitudes de los catetos OP y PM y la hipotenusa OM. Usa para ello la orden Distancia y longitud del noveno botón
Escribe aquí las medidas que han resultado al parar el movimiento de la recta:
OM = __________ MP = _______________ OP = __________________
Pide Calcular y comprueba el valor de la suma de las medidas de OP y PM ambas al cuadrado.
Escribe aquí el resultado: _______________________
Ahora calcula el cuadrado de la medida de OM. Deberá darte un resultado aproximado al anterior ( nunca te dará exactamente igual) y con eso cumplirá el Teorema de Pitágoras.
Relaciona
Ahora vas a construir una tabla con las medidas de OP y de PM respectivamente. Para conseguirlo mueve la recta de nuevo, desde que es tangente a la circunferencia por la parte de arriba hasta que lo es por la parte inferior.
Vas moviendo despacio y paras varias veces en el trayecto para tomar nota de las medidas de OP y PM. Procura pararte en puntos importantes: el centro de la circunferencia, cuando es tangente, etc.
Rellena así la tabla:
Responde:
¿En qué puntos OP mide cero? ______________
Si crece OP, ¿disminuye PM? ¿y al contrario, aumenta y disminuye OP?
_________________________________________________
¿Cuándo son prácticamente iguales? ____________________________________
Cuando ocurre el caso anterior, el segmento MN
es parte de...¿un triángulo equilátero inscrito o un cuadrado
inscrito en la circunferencia?
Inicia el programa Cabri. Con él debes realizar las operaciones que se te van a indicar y después escribe tus respuestas en este documento a lápiz, por si tienes que corregir.
Abre el archivo Homo1
Verás
en pantalla dos triángulos, uno más pequeño, el ABC, otro
mayor, el A´B´C´ y tres puntos O, P y P´ en línea
recta.
El primero tiene los puntos libres. Señala uno de los puntos A, B o C con el ratón hasta que la mano que señala se convierta en una mano que arrastra. Después, sin soltar el botón izquierdo, mueve el punto en cualquier dirección.
Explica lo que ocurre, por ejemplo,
comparando los ángulos de ambos triángulos. Coméntalo: Los ángulos son _________________
Busca segmentos paralelos. Da aquí algún ejemplo: _________________________
Comenta algo de las longitudes: ________________________________________
Vuelve a mover algún punto de ABC hasta
que el triángulo sea aproximadamente equilátero. ¿Qué
ocurre con A´B´C´?
Ahora conviértelo en rectángulo.
¿Le ocurre lo mismo a A´B´C´?
¿Cómo dirías que son siempre los dos triángulos?:
o Iguales
o Parecidos o
Semejantes o Equivalentes
¿Cómo dirías que están siempre los puntos O, A y A´ aunque muevas alguno de ellos?
o A la misma distancia o Paralelos o En la misma recta o Consecutivos
¿Ocurre lo mismo con O, B, B´ y con O, C y C`? __________________
En resumen, los pares de puntos A y A', B y B¨ y C con C´ están siempre ______________ con O.
Observa los lados. Mueve el punto A ¿Qué efecto tiene su movimiento?
__________________________________
¿Cómo son siempre los lados AB y A´B´?
o Iguales o Parecidos o Alineados o Paralelos
¿Ocurre lo mismo con las parejas AC y A´C´ y BC con B´C´? _________
De acuerdo: Cada lado es _______________ a su homólogo.
(Llamamos homólogos a los elementos que están igualmente situados en cada uno de los triángulos)
Si tus respuestas son correctas, ya has aprendido lo que son figuras homotéticas (o que entre ellas exista una homotecia):
Dos figuras son homotéticas si todos sus vértices homólogos están _________________ con un punto O, llamado Centro de homotecia y además sus lados son paralelos.
Si recuerdas el Teorema de Thales, este tipo de figuras deben tener también sus lados proporcionales. Vamos a comprobarlo:
En primer lugar, mueve el punto P´, el que está en la recta inferior y de color azul. ¿Qué ocurre con los triángulos al moverlo? __________________________________
Abre
ahora el archivo Homo2. Verás los mismos triángulos en
los que se han añadido varias medidas: las de los lados OP, OP´,
OC, OC´, AB Y A´B´. No se han añadido más para
no confundirte, pero si quieres, mide el resto de los lados con el botón
Observa que la distancia entre O y P es de 2,5 cm. Mueve P´ con cuidado hasta que su distancia a O sea el triple: 7,5 cm. (aproximadamente) Compara ahora la medida de A´B´ con la de AB ¿es también el triple? ____________________
¿Y si comparas OC´ con OC?_______________________
¿Significa lo que has visto que los lados son proporcionales? Si no tienes seguridad en la respuesta, estudia bien los cálculos que siguen. También habrás visto que el punto P´ dirige con su movimiento el tamaño del triángulo A´B´C´.
Mueve el punto P´ hasta que la distancia OP valga 4 cm. (aproximadamente, puede ser 3,99 o 4,01). El cociente (o razón) entre P´ y P será 4/2,5 es decir 1,6. Para que los lados sean proporcionales, el cociente entre A´B´ y AB deberá ser también de 1,6.
Puedes hacer los cálculos pidiendo Calcular como opción del mismo botón de medir, o bien con tu calculadora. Escribe los resultados:
A´B´
AB
Te deberán dar números prácticamente iguales. Es difícil que coincidan totalmente, a causa de los errores en las medidas.
Ese cociente, que es el mismo para todos los lados, se llama razón de homotecia, y en este caso es, aproximadamente, 1,6
Mide ahora los lados que faltan con el botón
y escribe sus cocientes:
A´B´/AB =
B´C´/BC =
Deberán valer también 1,6, salvo algún pequeño error.
¿Y sus ángulos? Abre el archivo Homo3. Mueve el punto P´ y observa las medidas de los ángulos homólogos: son siempre iguales.
Intenta ahora una animación. Deja el mismo archivo o abre de nuevo Homo1.
Pulsa
el botón penúltimo de la Barra de Herramientas, que suele tener
este dibujo:
Busca en ese botón el apartado de Animación y elígelo. Señala un punto libre de la figura hasta que el puntero tenga forma de una mano que coge el punto. Mueve el ratón sin soltar el dedo y despliega el "muelle" que lo va a mover. Suelta el muelle y verás cómo se mueve ese punto sin que tú hagas nada más.
¿Qué ha ocurrido con el triángulo
A´B´C´:_________________________________
Abre
el archivo Semeja
Verás los mismos triángulos homotéticos de antes, pero el ´B´C´ está con trazo más fino y ha aparecido otro triángulo A´´B´´C´´ de trazo más grueso.
¿Tienen la misma forma los dos triángulos
de trazo grueso? ¿Son semejantes?
Mueve el nuevo punto O´ o el punto A´´
Explica lo que ocurre:
Por si no has caído en la cuenta: Para pasar de ABC a A´´B´´C´´ hemos tenido que usar una homotecia seguida de un giro. Mueve el centro de giro O` o los puntos A o A´ hasta conseguir que el giro sea de unos 90º.
¿Forman también un ángulo de 90º los lados de ABC con los de A´´B´´C´´?
Estos triángulos son semejantes pero
no son homotéticos.
Máquina de dibujar figuras homotéticas
Sólo hemos estudiado la homotecia entre
triángulos, pero en realidad toda figura puede ser ampliada o reducida.
Abre el archivo Maqhomo, sigue las instrucciones y amplía o reduce
alguna figura dibujada a mano alzada.
El pantógrafo
Existe un instrumento, formado por cuatro varillas
(pueden ser de un mecano) enlazadas en forma de paralelogramo, que sirve para
construir homotecias con el objeto de ampliar o reducir un dibujo. La figura
adjunta te da una idea muy clara de cómo funciona.
Con el programa Cabri se puede construir un pantógrafo.
Lo puedes ver abriendo el archivo Panto. Como los instrumentos reales
tiene un punto de apoyo, un lápiz para dibujar y otro para ampliar. Sigue
las instrucciones que vienen con el modelo y amplía cualquier dibujo,
por ejemplo algunas letras del alfabeto.
Inicia el programa Cabri. Con él debes realizar las operaciones que se te van a indicar y después escribe tus respuestas en este documento (en las líneas o huecos que están preparados para recibirlas) a lápiz, por si tienes que corregir.
Abre
el archivo Trasla1
Verás en pantalla dos triángulos, aparentemente iguales, el ABC y el A´B´C´ y una flecha (vector) PQ en la parte inferior.
El primero tiene los puntos libres. Señala uno de los puntos A, B o C con el ratón hasta que la mano que señala se convierta en una mano que arrastra. Después, sin soltar el botón izquierdo, mueve el punto en cualquier dirección.
Intenta mover los demás puntos B, C, A´, etc. con este procedimiento ¿Son todos libres?
_______________________
Explica lo que ocurre al mover los puntos A, B ó C:
____________________________________________________
____________________________________________________
¿Y si movemos P o Q?
____________________________________________________
Los puntos A´, B´ y C´ no se pueden mover por sí mismos. Compruébalo.
¿Por qué crees que están ligados a los movimientos de A´?
____________________________________________________
¿Cómo dirías que son estos dos triángulos?
o Iguales o Parecidos o Semejantes o Equivalentes
¿Cómo son los lados de ABC comparados con los de A´B´C´? Sus lados son: ___________
¿Y sus ángulos? Sus ángulos son: ____________
La flecha que está dibujada debajo de los triángulos es un vector, que indica una dirección y una longitud de movimiento.
¿Tiene que ver ese vector con alguna propiedad de los triángulos? ¿Qué segmentos del dibujo parecen ser iguales a ese vector?
Explícalo: ___________________________________________
Intenta hacer coincidir A´ con A cambiando P o Q ¿Qué ocurre? ¿Cómo están entre sí P y Q?
______________________________________________________________
Mueve el vector de abajo hasta ponerlo horizontal. ¿Qué ocurre entonces con los dos triángulos? ¿Están a la misma altura?
______________________________________________________________
Intenta ahora poner el vector vertical. ¿Cómo afecta eso a los dos triángulos?
_________________________________________________
Por último, mueve P o Q hasta conseguir que coincida A´ con C y explica a qué segmento se hace igual el vector: __________________________
Moviendo A, B y C convierte el primer triángulo
en equilátero (aproximadamente). ¿Lo será también
A´B´C´?
Intenta ahora una animación. Pulsa el botón penúltimo de la Barra de Herramientas, que suele tener este dibujo:
Busca en ese botón el apartado de Animación y elígelo. Señala un punto del triángulo ABC hasta que el puntero tenga forma de una mano que coge el punto. Mueve el ratón sin soltar el dedo y despliega el "muelle" que lo va a mover. Suelta el muelle y verás cómo se mueve ese punto sin que tú hagas nada más.
¿Qué ha ocurrido con el triángulo A´B´C´:_________________________________
Haz lo mismo con el vector PQ: Dale animación y observa qué ocurre con los triángulos.
_________________________________________
Ya sabes que lo que estamos haciendo es una traslación. Abre el archivo Trasla2 y verás los mismos triángulos, pero con las medidas de sus lados.
Mueve algún punto A, B, C o Q y explica qué pasa al comparar las medidas de los lados de uno y otro triángulo.
______________________________________________________________
Abre el archivo Trasla3, en el que figuran las medidas de los ángulos
Mueve algún punto que esté libre.
¿Cómo son los ángulos de A´B´C´ comparados con los de ABC? _____________________
Bien, ya sabemos algo más de los triángulos
trasladados:
El camino que nos lleva desde A hasta A´, ¿es el mismo que el que va desde B hasta B´? ____
¿Qué tiene que ver ese camino con el vector de abajo?__________________________
Para verlo mejor vuelve a abrir el archivo Trasla1.
Intenta mover los puntos A´, B´ y C´
y verás que no puedes. Cambia de tamaño el vector moviendo uno
de sus puntos: El triángulo A´B´C´ se mueve siguiendo
la ruta que le marca el vector.
Máquina de trasladar
Aunque hemos estudiado la traslación con
triángulos, en realidad toda figura puede ser trasladada. Abre la Maqtra,
sigue las instrucciones y traslada alguna figura dibujada a mano alzada. Por
ejemplo, letras del alfabeto.
Frisos
Si a unas figuras las sometes a varias traslaciones iguales se pueden producir frisos.
Abre el archivo Trasla4 y podrás
contemplar un friso formado por triángulos:
Podrás observar que hay dos botones
importantes: El primero sirve para dibujar triángulos y el segundo para
trasladarlos siguiendo un vector. Dibuja tú un triángulo con el
primer botón y después un vector (extiende el menú que
está en ese mismo botón y busca Vector). Después
pulsa el botón T , señala el triángulo y luego el
vector y verás cómo se traslada. Pide ayuda si no te sale bien
e intenta un friso trasladando uno o varios triángulos, de forma
similar al que ves en la figura.
DESCRIPCION DEL PROGRAMA
Programa bajo DOS de Marta Oliveró y José Luis Abreu.
Presenta la ventaja de que funciona en ordenadores poco potentes
El programa tiene por objeto hacer un detallado estudio de las propiedades de las cónicas e introducirnos en sus expresiones analíticas.
La presentación es una pantalla dividida en tres regiones
A la izquierda aparecen una serie de ventanas
que son las herramientas:
Ayuda: para dar ayuda sobre las instrucciones de funcionamiento de cada ventana
Iniciar: retorna al nivel 1 de cada cónica
Demo: da explicaciones teóricas de la cónica elegida
dibuja o borra los puntos de una retícula
Limpiar: borra la gráfica en pantalla
Deshacer: recupera la imagen anterior
Dibujar: dibuja la curva y la deja en pantalla aunque variemos los parámetros.
selecciona el color y el tipo de trazo
selecciona el incremento automático de los parámetros
+: aumenta el valor del parámetro activo
-: disminuye el valor del parámetro activo
nos permite asignar un valor directamente al parámetro activo
-Región inferior :
En esta región aparecen
los parámetros y sus valores activos en ese momento. Para cambiar el
valor de un parámetro este tiene que estar resaltado. Para resaltarlo
basta con situarse con el ratón sobre él y apoyar el botón
izquierdo. Los valores se pueden cambiar con las ventanas = o las de
+ y -.
-Región central :
Es donde se representan las gráficas, las ecuaciones, el nombre de la cónica y las coordenadas de la zona visible.
- Región derecha
Menú: nos lleva a la pantalla inicial, sirve para selecionar la cónica y salir del programa
Ventana: informa de la posición y tamaño de la ventana de gráficos
Ejes: pulsando sobre las flechas desplaza la zona de pantalla visible
Zoom: aumenta (botón dcho.) o disminuye (botón izdo.) la escala
Niv : sirve para elegir el nivel de dificultad pulsando el botón dcho o izdo del ratón
12345: es el menú directo de opciones
1 - elipse
2 - parábola
3 - hipérbola
4 - directriz-excentricidad
5 - ecuación general ( se puede acceder a cada cónica mediante su
ventana correspondiente )
Actividades
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
Para empezar el estudio sitúate con el ratón en la ventana *12345*, ponte sobre el número 1 y apoya el botón izquierdo del ratón.
(Este mecanismo lo tendrás que repetir cada vez que quieras activar una opción; equivale a la tecla INTRO).
Te aparecerá en pantalla unos ejes y una elipse y en la parte superior esta fórmula
x 2/a2 + y2 /b2 = 1
Si te aparece una elipse, pero una fórmula distinta de esta, vete a la ventana de NIVEL y apoya el botón izquierdo del ratón hasta que aparezca la fórmula dada. Si te aparece una cónica distinta vuelve a seleccionar la opción 1.
En la parte inferior te aparecen dos parámetros con valores. Vamos a descubrir qué representan.
Estará resaltado el parámetro a, si no lo está lo puedes activar con el ratón situándote sobre él y apoyando el botón. Esto significa que puedes cambiar el valor de este parámetro. Lo puedes hacer activando la ventana de = y tecleando el valor que quieras con el teclado o con las ventanas de + o - apoyando el botón del ratón. El intervalo de salto lo seleccionas en la ventana de las barras seleccionando la longitud que quieras con el ratón.
EJERCICIO 1:
Asigna al parámetro "a" cinco valores distintos y observa los cambios que sufre la cónica.
Responde brevemente a estas tres cuestiones:
1.- ¿Qué le ocurre a la elipse al aumentar "a"?
2.- ¿Qué le ocurre al disminuir "a"?
3.- ¿Qúe crees tú que representa
en el dibujo el parámetro "a"?.
EJERCICIO 2:
Activa ahora el parámetro "b". Dale varios valores y mira los cambios.
1.- ¿Qué ocurre cuando aumenta "b"?
2.- ¿Qué ocurre cuando disminuye?
3.- ¿Qué representa el parámetro "b"?
4.- ¿Qué pasa cuando a=b?
5.- ¿Qué pasa si b>a ?
EJERCICIO 3:
Aumenta el nivel en un grado: vete a la ventana de NIVEL y cuando estés sobre ella apoya el botón derecho del ratón; si te pasas puedes descender de nivel con el botón izquierdo
Te ha aparecido una nueva fórmula un poco más complicada. En ella aparecen dos parámetros nuevos h y k.
Si te aparecen más cosas desciende de nivel. Activa, sucesivamente, cada uno de esos parámetros y dales unos cuantos valores.
1.- ¿Qué representa en parámetro
"h" ?
2.- ¿Qué representa el parámetro
"k" ?
3.- ¿Quién es punto de coordenadas (h,k) ?
EJERCICIO 4:
Vuelve a aumentar el nivel y verás que te aparece una nueva ecuación de la elipse, en las que aparecen senos y cosenos de un ángulo "t".
Activa este parámetro y dale unos cuantos valores, los que consideres necesarios.
1.- ¿Qué representa este parámetro?
2.- ¿Qué efecto tiene su variación
en el dibujo de la cónica?
Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
Para empezar el estudio sitúate con el ratón en la ventana *12345* , ponte sobre el número 3 y apoya el botón izquierdo del ratón. (Este mecanismo lo tendrás que repetir cada vez que quieras activar una opción; equivale a la tecla INTRO).
Te aparecerá en pantalla unos ejes y una elipse y en la parte superior esta fórmula
x2 /a2 - y2 /b2 = 1
Si te aparece una hipérbola, pero una fórmula distinta de esta, vete a la ventana de NIVEL y apoya el botón izquierdo del ratón hasta que aparezca la fórmula dada.
Si te aparece una cónica distinta vuelve a seleccionar la opción 3.
En la parte inferior te aparecen dos parámetros
con valores. Vamos a descubrir qué representan.
Estará resaltado el parámetro a, si no lo está lo puedes activar con el ratón situándote sobre él y apoyando el botón. Esto significa que puedes cambiar el valor de este parámetro. Lo puedes hacer activando la ventana de = y tecleando el valor que quieras con el teclado o con las ventanas de + o - apoyando el botón del ratón. El intervalo de salto lo seleccionas en la ventana de las barras seleccionando la longitud que quieras con el ratón.
EJERCICIO 1:
Asigna al parámetro "a" cinco valores distintos y observa los cambios que sufre la cónica.
Responde brevemente a estas tres cuestiones:
1.- ¿Qué le ocurre a la hipérbola al aumentar "a"?
2.- ¿Qué le ocurre al disminuir "a"?
3.- ¿Qúe crees tú que representa
en el dibujo el parámetro "a"?.
EJERCICIO 2:
Activa ahora el parámetro "b". Dale varios valores y mira los cambios.
1.- ¿Qué ocurre cuando aumenta "b"?
2.- ¿Qué ocurre cuando disminuye?
3.- ¿Qué representa el parámetro "b"?
4.- ¿Qué pasa cuando a=b?
5.- ¿Qué pasa si b>a ?
EJERCICIO 3:
Aumenta el nivel en un grado: vete a la ventana de NIVEL apoya una vez el botón derecho del ratón; si te pasas puedes descender de nivel con el botón izquierdo.
Te ha aparecido una nueva fórmula un poco más complicada. En ella aparecen dos parámetros nuevos h y k.
Si te aparecen más cosas desciende de nivel. Activa, sucesivamente, cada uno de esos parámetros y dales unos cuantos valores.
1.- ¿Qué representa en parámetro "h" ?
2.- ¿Qué representa el parámetro "k" ?
3.- ¿Quién es punto de coordenadas (h,k) ?
EJERCICIO 4:
Vuelve a aumentar el nivel y verás que te aparece una nueva ecuación de la hipérbola, en las que aparecen senos y cosenos de un ángulo "t".
Activa este parámetro y dale unos cuantos valores, los que consideres necesarios.
1.- ¿Qúe representa este parámetro?
2.- ¿Qué efecto tiene su variación
en el dibujo de la cónica?
Es el lugar geométrico de los puntos del plano que están a igual distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.
Para empezar el estudio sitúate con el ratón en la ventana *12345* , ponte sobre el número 2 y apoya el botón izquierdo del ratón. (Este mecanismo lo tendrás que repetir cada vez que quieras activar una opción; equivale a la tecla INTRO).
Te aparecerá en pantalla unos ejes y una parábola y en la parte superior esta fórmula y2 = 4px
Si te aparece una parábola pero una fórmula distinta de esta, vete a la ventana de NIVEL y apoya el botón izquierdo del ratón hasta que aparezca la fórmula dada.
Si te aparece una cónica distinta vuelve a seleccionar la opción 2.
En la parte inferior te aparece sólo un parámetro p con valores. Vamos a descubrir qué representa.
Estará resaltado el parámetro p, si no lo está lo puedes activar con el ratón situándote sobre él y apoyando el botón. Esto significa que puedes cambiar el valor de este parámetro. Lo puedes hacer activando la ventana de = y tecleando el valor que quieras con el teclado o con las ventanas de + o - apoyando el botón del ratón.
El intervalo de salto lo seleccionas en la ventana de las barras seleccionando la longitud que quieras con el ratón.
EJERCICIO 1:
Asigna al parámetro "p" cinco valores distintos y observa los cambios que sufre la cónica.
Responde brevemente a estas tres cuestiones:
1.- ¿Qué le ocurre a la parábola al aumentar "p"?
2.- ¿ Qué representa el parámetro "p"
Una variación técnica sobre las otras dos cónicas es que la puedes situar sobre el eje y tecleando CONTROL-Y. 3. ¿ Cuál es en esta ocasión la ecuación ?
EJERCICIO 2:
Aumenta el nivel en un grado: vete a la ventana de NIVEL apoya una vez el botón izquierdo del ratón; si te pasas puedes descender de nivel con el botón derecho.
Te ha aparecido una nueva fórmula un poco más complicada. En ella aparecen dos parámetros nuevos xV y yV.
Si te aparecen más cosas desciende de nivel. Activa, sucesivamente, cada uno de esos parámetros y dales unos cuantos valores.
1.- ¿Qué representa en parámetro "xV" ?
2.- ¿Qué representa el parámetro
"yV" ?
3.- ¿Quién es punto de coordenadas
(xV,yV) ?
EJERCICIO 3:
Vuelve a aumentar el nivel y verás que te aparece una nueva ecuación de la parábola, bastante más complicada, en la que aparecen senos y cosenos de un ángulo "t".
Activa este parámetro y dale unos cuantos valores, los que consideres necesarios.
1.- ¿Qué representa este parámetro?
2.- ¿Qué efecto tiene su variación
en el dibujo de la cónica?
EXCENTRICIDAD
Y RECTA DIRECTRIZ
Una vez terminada la parábola vete al menú 4. Este menú estudia la excentricidad y la directriz de cada cónica.
EJERCICIO 1:
Activa el parámetro e y dí que cónica se obtiene para cada uno de los siguientes valores:
e=1_________________; e<1 ______________________; e>1 ________________________
y asigna varios valores a cada uno de los coeficientes de la ecuación general de una cónica.
Estudia para qué valores se produce la transición de una cónica a otra.
EJERCICIO 2:
Da a e el valor 1, te aparecerá una parábola con su recta directriz. La ecuación de la parte superior no nos interesa.
Dale a t varios valores y comprueba que
el vértice de la parábola está siempre en el punto medio
entre la recta directriz y el foco.
Activa el menú 1 de la elipse y sitúate en el nivel más bajo. A continuación activa el menú 5.
Te aparece una ecuación de esta forma: Ax2 + Cx2 + Dx + Ey + F = 0
Esta es la ecuación general de una cónica de ejes paralelos a los ejes de coordenadas, es decir, sin girar.
Dale a A el valor 0 . ¿ Qué cónica obtienes ? ___________________________________________
Cambia los valores de D y E . ¿ Qué cónica obtienes ? ___________________________
¿Qué cónica obtienes danda a A valores negativos ? _____________________________
¿Y dándole valores positivos ? _____________________________________________
Aumenta en nivel. Obtendrás una ecuación como esta Ax2 + Bxy + Cx2 + Dx + Ey + F = 0.
Corresponde a una cónica "girada".
Observa la incidencia de las variaciones de cada parámetro en la forma de la cónica. Utiliza los iconos de + y - para ver deprisa esta variación.
¿ Si A = 0 seguimos teniendo una parábola ?
Asigna los siguientes valores A = 1; C= 1; D = 1; E = 1; F= -3.
¿Para qué valor de B pasamos
de tener una hipérbola a tener una parábola y luego una elipse
?