hoja de calculo

HOJA DE CÁLCULO. EXCEL

ÁLGEBRA	AZAR Y PROBABILIDAD
Adivinador de números.xls Sistemas.xls Resolución de ecuaciones.xls Ecuaciones 1.xls Corrector algebraico.xls Inecuación.xls Ecuación de segundo grado.xls	CARRERA DE CEROS FRECUENCIA Y PROBABILIDAD LANZAMIENTO DE DOS DADOS TIRADA DE MONEDAS EXPERIMENTO DE GALTON DISTRIBUCIÓN DE ESTATURAS DATOS CUANTITATIVOS AISLADOS PALABRAS

Descripción del material

La hoja de cálculo, en la experimentación hemos utilizado EXCEL, de Microsoft Office, es una herramienta de primera magnitud para la adquisición de conceptos y destrezas matemáticas para el alumno de todos los cursos.

No se trata de que el alumno aprenda el funcionamiento de la hoja de cálculo como herramienta informática, basta con que conozca sus rudimentos. No es necesario, y a veces ni siquiera aconsejable ya que ello llevaría un exceso de tiempo del que habitualmente no disponemos, que el alumno construya sus propios modelos.

Nuestra línea de actuación ha ido encaminada a la realización por el profesor de los modelos relacionados directamente con un concepto matemático, y proporcionar a los alumnos hojas de trabajo sobre ese mismo modelo. La ventaja principal es la posibilidad de simular experimentos con un número importante de datos, algo imposible de conseguir en una clase normal, elaborar conjeturas y comprobar y validar las mismas y a partir de ahí construir y afianzar el concepto estudiado.

La posibilidad de incorporar a la simulación gráficos estadísticos dinámicos convierte a este material en imprescindible para el estudio del azar y la estadística. Pero su aplicación también se puede extender al estudio del álgebra y de la funciones.

El trabajo se realiza en equipos de dos personas por ordenador, el profesor suministra el modelo ya elaborado y la hoja de trabajo. En ocasiones las instrucciones de tareas a realizar están incorporadas en el propio modelo.

También se puede utilizar un determinado modelo con un solo ordenador y cañón de proyección.

Curso y nivel:

Según los modelos utilizados se puede usar en todos los cursos aunque es aconsejable en 3º y 4º de ESO al contar los alumnos con nociones de informática

Objetivos

Aproximar al alumno a los conceptos matemáticos a través de simulaciones próximas a la realidad.
Obviar la realización de cálculos repetitivos y tediosos para invertir el tiempo en la adquisición del concepto a través de la formulación y comprobación de conjeturas
Comprobación de hipótesis y conjeturas en la línea de laboratorio de matemáticas

Actividades

Álgebra
Azar
Estadística

ÁLGEBRA

FICHA DEL MATERIAL

Título

Uso de la Hoja de Cálculo para la atención a la diversidad en el aprendizaje de algunas técnicas algebraicas.

Descripción del material

Estructura

Colección de modelos de Hoja de Cálculo Excel orientados a facilitar el aprendizaje del Álgebra

Simplificaciones: Modelo que comprueba si dos expresiones algebraicas con una o varias variables son equivalentes o no.

Adivinar un número: Permite la práctica de la jerarquía de operaciones mediante la construcción de un modelo que adivine un número pensado usando las técnicas de despejar variables.

Comprobaciones: Corrige las soluciones de una ecuación, dando simplemente la calificación de verdadero o falso.

Resoluciones: Permite resolver una ecuación por tanteo o mediante búsqueda de objetivos. También puede comprobar resultados ya dados.

Sistemas: Clasifica un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas y lo resuelve.

Inecuaciones: Visualiza los valores de una inecuación en un intervalo de números, a fin de descubrir los cambios de signo y encontrar las soluciones.

Ecuación de segundo grado: Desarrolla la fórmula correspondiente destacando el papel del discriminante en la distinción de casos.

Curso y nivel

Segundo ciclo de E.S.O.

Finalidad

Usar materiales de apoyo para lograr una mejor comprensión de los conceptos y técnicas algebraicas atendiendo a la diversidad mediante

Distintos ritmos de aprendizaje
El tipo de material, que supondrá para los alumnos el poder contar con otras formas de aprendizaje, alguna de las cuales puede ser la que resuelva algún problema de comprensión concreto.
Uso de un ciclo de Observar - Relacionar - Expresar - Inventar - Nuevos caminos para que cada grupo alcance el nivel mejor adaptado a sus capacidades. Constituirá una escala máltiple desde lo empírico hasta lo más abstracto posible.
Reparto selectivo de materiales según los niveles de conocimiento existentes.
Itinerarios con varios finales según los distintos niveles de aprovechamiento.
Composición adecuada de los grupos de trabajo, compensatoria u homogénea.

Prerrequisitos

Cada modelo requiere que se hayan practicado las técnicas que contiene:

Simplificaciones: Deben conocer las técnicas de operar con paréntesis, reducir términos semejantes, igualdades notables, etc.

Adivinar un número: Deben haber despejado variables en sesiones anteriores

Comprobar y resolver ecuaciones y sistemas: Sólo se usarán estos modelos cuando los alumnos hayan resuelto ecuaciones y sistemas sencillos.

Inecuaciones: Puede usarse el modelo como primera sesión de trabajo, antes de aprender a resolver inecuaciones.

Ecuación de segundo grado: Deben haber resuelto alguna, pero no es imprescindible que sepan discutir los casos según el valor del discriminante.

Objetivos

Afianzar los conocimientos y técnicas algebraicas mediante otras formas de operar.

Aumentar la motivación con el uso del ordenador.

Incluir la posibilidad de discutir ecuaciones y sistemas sin pérdidas de tiempo en cálculos engorrosos.

Habituar a los alumnos a no dar por bueno un resultado hasta haber sido comprobado.

Efectuar prácticas rápidas como forma de entrenamiento.

Ver las inecuaciones como valores de una función en un intervalo.

Aprender que no todos los problemas de Álgebra tienen solución.

Conocer problemas con infinitas soluciones.

Relacionar el lenguaje algebraico usual con el propio de los ordenadores, specialmente en el uso del signo "*" para multiplicar.

Objetivos por niveles

Estos objetivos se marcarán dentro de cada grupo de alumnos según los niveles de conocimientos y capacidades que presenten. La posibilidad de usar varios ordenadores permitirá repartir las tareas de forma que se respete el ritmo de aprendizaje de cada alumno.

Metodología

Se repartirán los alumnos en grupos de dos por ordenador, debiendo desarrollar cada equipo una parte o la totalidad de los ejercicios propuestos. La composición de los equipos podrá buscar la homogeneidad y clasificación por niveles o bien la compensación, uniendo alumnos de distinto nivel para su apoyo mutuo.

Para organizar los progresos es conveniente rellenar algún tipo de ficha indicando los conceptos o técnicas que va dominando cada equipo, los trabajos realizados y las carencias observadas. Según los resultados se podrá cambiar la composición de los equipos.

En los distintos modelos que componen este material se aplicarán las siguientes líneas metodológicas :

Simplificaciones :

Se dedicará la mayor parte del tiempo a ejercitar a los alumnos en las técnicas algebraicas correspondientes, pero se aprovecharán los ejercicios para añadir referencias al contexto y realizar pequeñas traducciones entre el lenguaje natural y el algebraico.

Adivinar un número :

El principal recurso de este modelo es que los alumnos "harán Álgebra sin saberlo", como única posibilidad de funcionamiento correcto de las adivinanzas. Indirectamente repasarán también la jerarquía de operaciones.

Comprobar y resolver ecuaciones y sistemas :

En estos modelos la metodología será más compleja, pues se mezclarán sucesiva o alternativamente los siguientes recursos :

Comprobación de todo lo resuelto como garantía del trabajo bien hecho.
Posibilidad de resolver mentalmente en casos sencillos.
Descubrimiento de la conveniencia de discutir los resultados, especialmente en los sistemas.
Invención de ecuaciones y sistemas que cumplan algunos requisitos.
Expresión verbal y/o matemática (en este caso con rigor variable) de lo observado.

Inecuaciones :

La resolución de inecuaciones permite ensayar nuevas formas de ver las cuestiones algebraicas. Destacaremos :

Conocimiento de la existencia de infinitas soluciones.
Relación entre ecuaciones, funciones e inecuaciones
Posibilidad de usar gráficas.
Relación de la inecuación con un conjunto de números.

Material

Hoja de Cálculo Excel

Modelos confeccionados para esta tarea:

Adivinador de números.xls

Sistemas.xls

Resolución de ecuaciones.xls

Ecuaciones 1.xls

Corrector algebraico.xls

Inecuación.xls

Ecuación de segundo grado.xls

Actividades

Se fijarán en función de las carencias observadas en cada grupo. Estarán recogidas en hojas de trabajo que pueden ser de dos tipos:

a) Hojas de trabajo con el ciclo de Observar- Relacionar- etc. con las que cada equipo alcance los objetivos adecuados a sus capacidades.

b) Listas de tareas rápidas con comprobación de resultados, cuyo único objetivo será la ejercitación en técnicas rutinarias. Estarán formadas por baterías clasificadas por su dificultad.

CORRECTOR ALGEBRAICO

Modelo para adquirir solvencia en el manejo y simplificación de expresiones algebraicas

Instrucciones incorporadas al modelo

CORRECTOR ALGEBRAICO

Hoja del alumno

OBSERVACIONES

Hacer tres baterías distintas según niveles

a) Suma, producto y combinados

b) Combinada desde el principio y con dos niveles de paréntesis

c) Con sumas entre paréntesis multiplicadas entre sí. Meter cuadrados de paréntesis al final.

Modelo

Debe tener como variables X,Y, A,B m,n, como mínimo

Debe ser aleatorio y comprobar los valores cinco veces, como en Apuntes

Idea: En otra hoja se generan cinco valores aleatorios para cada variable

después se da el valor 1 si el error es muy pequeño entre ambas expresiones

y valor cero en caso contrario. Luego se suma y así, si es 5, es verdadero-

Podemos incluir resultados numéricos

Teoría

Reglas prácticas para simplificar expresiones algebraicas

- Si dos cantidades tienen las mismas letras, aunque tengan distintos coeficientes, se pueden sumar:

7ab + 8ab = 15ab 5x² + 12 x² = 17 x² ab + b = no se puede

- Para multiplicar letras con coeficientes:

- Se multiplican los coeficientes

- Se suman los exponentes de las mismas letras

- Se dejan indicadas las demás operaciones (no se puede multiplicar una letra por otra)

5a× 4a× 7a²b = 140a⁴b 3mn× 8m²n =24m³n²

- Calcular y simplificar

- Lo que se pueda, se calcula

- Lo que no, se deja indicado

- Si un paréntesis no se puede calcular, se quita:

Si tiene delante signo +, se quita simplemente
Si tiene delante signo - , se quita cambiando todo de signo
Si hay un número multiplicando delante, hay que multiplicar ese número por todos los sumandos del paréntesis

Batería 1

Simplifica las siguientes expresiones algebraicas y comprueba con el ordenador:

8 – (9 – 3) = 2 ´ 6 – 7 =

(3 + 3) ´ 6 = 9 - 3´ 4 =

(3´ 7) – 15 = 9 + 12/4 =

4 – (8 + 1)/3 = 12/4 – 8/2 =

4 – 5/5 = 8 + (2 – 4)/2 =

9 + 2²+4 = 3´ 8³ =

(2´ 3 + 2) ´ 2 = 6 - (3´ 4 + 3) =

x + x + 2x = x + 2y - 3x + y = 5x - 3y + 2x + x - y =

4a + 5b - 3a + m +2n - 4m +7n

4x - 7y + a -(a -b) +(x-1) - (y+2) -2y =

Indica qué igualdades son ciertas y cuáles son falsas:

a + a + a = 3a a´ a = 2a x + y + x + y = 2x + 2y

2(x+y) = 2x + 2y x´ x + x = x² + x m + m + m = m³

x – (y – z) = x – y – z (x + y) – (y+z) = x – z 3(x+1) – x = 3x+1

Traduce estas frases a expresiones algebraicas con las variables x e y y simplifica después

" A un número le sumo su anterior y su siguiente"

Traducción: Simplificación:

" A dos números distintos les resto su mitad y después los sumo"

Traducción: Simplificación:

" A la edad de Ana le resto la edad que tenía hace 6 años"

Traducción: Simplificación:

" Tomo el triple de un número y el doble del anterior de otro y después los resto"

Traducción: Simplificación:

Batería 2

Simplifica las siguientes expresiones algebraicas y comprueba con el ordenador:

3´ 5 – (2 - 1) = 2´ (7-2) – 3´ (5+2) =

4 – 2´ (2´ 2 - 1) = 8 + (3´ 2² – 4) =

(3-1)²+4´ 2³ = 3´ 2⁴ + 2´ (8-3)´ (5+2) =

2(x - y) + 3(x² + x) = x(3x + y) + 2xy =

2x× 6x× 3x² = 4xy× 4x² y× 2x =

x² + x(x + 2y) - xy = 2(x² + y² ) + x(x + y) =

Batería 3

Simplifica las siguientes expresiones algebraicas y comprueba con el ordenador:

3 - (2 - (3 - a)) + 2a - 3(a-1) =

5x + 7y - (x-(x²-y)) + 4(2x-3) =

(8-1)x+(2-7)y +3(2x-1)-3(y-2) =

3(2 - 3(x - (y-1)) + x) - (x - y) =

8x + x(x+2) +2x(x+3) - x² =

a(a-b) - b(b-a) +4(a² - b²) +a =

mn(3-m-n) - n(3m+2) +m(n-1) +4mn =

7m(m-2) + m(2m-3) - 4(m² -1) =

2x(x²+x+2) - 2x(3x+4) -x²(2-x) =

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

Introducción al concepto de ecuación

Traducción de lenguaje real a lenguaje algebraico

El alumno utiliza el modelo para comprobar sus resultados previos realizados con lápiz y papel.

COMPROBACIÓN DE SOLUCIONES DE ECUACIONES

Batería de ejercicios

Primer nivel

Resuelve estas ecuaciones y comprueba con Excel

10 + x = 22

10 – x = 2

7x + 2 = 9

3(x-2) = 6

(3x – 2)/3 = 2

x – (2 – x) = 4

x/7 + 10 = 12

8 – 3x = x + 4

Encuentra un número X que cumpla:

"Su triple es 423"

"Su doble más 3 equivale a 85"

"Si le quito 43 se queda en la mitad"

"Si le sumo su mitad se convierte en 63"

Para ello plantea la ecuación correspondiente, resuélvela y comprueba la solución con Excel.

"Meto 20 ptas. más en el bolsillo y resulta que ahora tengo un 10% más de dinero"

Segundo nivel

Resuelve estas ecuaciones y comprueba con Excel

(x-2)/4 + x = 13

3 – (x – (2x+2)) = 2 – x

x/4 + x/5 = 10 – x

(x – 12)/3 = (x-20)/2

6 + (2+x)/3 = (x+1)/4 +4

Tercer nivel

Resuelve estas ecuaciones y comprueba con Excel

2(3x-11) = 24 - (x+2)/6

2(3x+9)/5 - 6(x-7)/3 = 23

x - 3(2-x) - (8+x) = 200

2.5 + (8-1.5x) = 6.75x + 2

(x - (2 - x))/2 = x+ 5/4

ECUACIÓN DE 2º GRADO

Estudio completo de la ecuación de segundo grado.

Ecuaciones incompletas.

Discusión de las ecuaciones.

Suma y producto de las soluciones

El modelo permite resolver, comprobar y analizar la suma y el producto de las soluciones

ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

Hoja del alumno

En primer lugar observa

Abre el programa Excel y (con la orden Archivo Abrir) el modelo Ecuación de segundo grado.xls. Obsérvalo bien y verás que contiene tres hojas distintas:

Hoja "Resolver"

La primera hoja sirve para resolver la ecuación de segundo grado ax² + bx + c=0. Para ello dispones de tres celdas rotuladas con a, b y c respectivamente. Basta rellenar esas celdas y la ecuación quedará resuelta.

Intenta resolver así la ecuación 2x² +5x + 3. =0

Para ello basta que escribas los valores a, b y c en sus celdas respectivas.

Escribe las soluciones obtenidas: x₁ = ______ x₂ = ________

Como ves, esta parte es muy fácil de manejar.

Hoja "Comprobar"

La segunda te sirve para comprobar soluciones. Si en la celda x escribes una de ellas, el valor del trinomio ax² + bx + c deberá ser cero. Escribe así una de las soluciones que has obtenido. Si no te da cero de forma exacta, al menos te dará un número muy pequeño debido a errores inevitables del redondeo que efectúa el ordenador. Aparecerá el mensaje "Es solución".

Escribe en la celda x un valor que no sea solución. Observa que el valor del trinomio no da cero y que obtienes el mensaje "No es solución".

Por ahora puedes ignorar la celda a(x - x₁)(x - x₂)

Hoja "Suma y producto"

La tercera hoja te da la suma y el producto de las soluciones. Por ahora limítate a comprobarlo. Escribe los datos a=2 b=-10 c=8 en la Hoja "Resolver". Comprueba que las soluciones son 1 y 4 y que por tanto su suma es 5 y su producto es 4.

Ahora observa bien estos resultados y vas sacando consecuencias

Resuelve la ecuación 2x² + 7x + 2 =0

¿Te llama algo la atención? Si no es así, limítate a comprobar las soluciones. Rellena la celda x de la Hoja "Comprobar" con cada una de las soluciones y observarás que, efectivamente, el valor de 2x² + 7x + 3 es cero y obtienes el mensaje "Es solución".

Las soluciones de una ecuación de segundo grado convierten el trinomio ax² + bx + c en cero

Escribe ahora en la celda x un valor cualquiera distinto a las soluciones. Evidentemente ahora el trinomio ax² + bx + c no es cero y aparecerá el mensaje "No es solución".

Resuelve ahora la ecuación x² -6x + 8 =0

Comprueba si las celdas de suma y producto dan los resultados correctos.

¿Podías haber adivinado las soluciones al ver los valores -6 y 8?

¿Te atreves a escribir (sin resolver) las soluciones de x² - 4x + 3 =0?

Inténtalo: x₁ = ______ x₂ = ________ Escribe después los valores de a b y c para comprobarlo.

Resuelve la ecuación x² + x - 30 =0

Escribe aquí el resultado: x₁ = ______ x₂ = ________

Ha salido una negativa y otra positiva. ¿No?

Ahora intenta resolver x² -3x - 10 =0

a=1 b=-3 c=-10

Ahora también hay una positiva y otra negativa. ¿De qué dependerá eso?

Inventa algunas ecuaciones para averiguarlo. Cuando lo tengas escríbelo:

Una ecuación de segundo grado tiene soluciones de distinto signo cuando

_____________________________________________________________

Sigue observando estos casos especiales

Resuelve las ecuaciones x² -12x =0 y 5x² +13x=0

En primer lugar piensa cuáles serán los valores de a, b y c.

¿Qué observas? Responde: ______________________________________

¿Ocurre lo mismo con -3x² -6x =0

Inventa un caso parecido y compruébalo

¿Cuándo ocurre lo que has observado?(escríbelo y coméntalo con tus profesores):

_____________________________________________________________

Vas a resolver un lote de ecuaciones sin que tengas que hacer ningún comentario por ahora. Escribe las soluciones de cada una y el valor de la expresión b²-4ac que te da el ordenador en la Hoja "Resolver":

a=1 b=-1 c=-1

Soluciones: x₁= ____ x₂= _____ b²-4ac=

a=1 b=-1 c=12

Soluciones: x₁= ____ x₂= _____ b²-4ac=

a=1 b=-8 c=16

Soluciones: x₁= ____ x₂= _____ b²-4ac=

a=1 b=6 c=9

Soluciones: x₁= ____ x₂= _____ b²-4ac=

a=1 b=2 c=8

Soluciones: x₁= ____ x₂= _____ b²-4ac=

a=1 b=20 c=8

Soluciones: x₁= ____ x₂= _____ b²-4ac=

Habrás observado que a veces no hay solución, o bien las dos que resultan son iguales. ¿De qué dependerá? Intentaremos averiguarlo:

¿Cómo es b²-4ac si no existe solución? _________________________

¿Y para que ambas sean iguales? ______________________________

¿Cómo son las soluciones si b²-4ac es positivo?___________________

Resume aquí lo que has aprendido:

Si b²-4ac>0 las dos soluciones son _____________________________

Si b²-4ac=0 las dos soluciones son _____________________________

Si b²-4ac<0 las dos soluciones son _____________________________

Por último, observaremos cómo son las soluciones cuando falta la b, es decir, cuando vale cero. Resuelve estas ecuaciones y escribe tu opinión.

x² -144 =0 Soluciones: x₁= ____ x₂= _____

x² +144 =0 Soluciones: x₁= ____ x₂= _____

x² - 4 =0 Soluciones: x₁= ____ x₂= _____

x² - 29 =0 Soluciones: x₁= ____ x₂= _____

Rellena:

Si en la ecuación de segundo grado el coeficiente b es cero y el coeficiente c es _______________, entonces hay dos soluciones que son ________________________

Trabajo voluntario:

Inventa ecuaciones cuyas soluciones sean números enteros. Explica cómo lo haces:

Fórmulas para la suma y el producto de las dos soluciones

En los siguientes casos debes tomar nota de las soluciones y también de la suma y el producto que da el ordenador:

a =1 b = -10 c = 24

Soluciones: x₁= ____ x₂= _____

Suma: x₁+ x₂= _______ Producto: x_{1 ×}x₂= _______

a=1 b=7 c=12

Soluciones: x₁= ____ x₂= _____

Suma: x₁+ x₂= _______ Producto: x_{1 ×}x₂= _______

Lee las fórmulas de suma y producto que usa este modelo de Excel. ¿Estás de acuerdo?

¿Crees que la suma equivale a -b/a y el producto a c/a?

Para comprobarlo resuelve las ecuaciones siguientes y rellena los valores que se te piden, pero comprobando si las fórmulas son correctas:

a=2 b=20 c=50

Soluciones: x₁= ____ x₂= _____

Suma: x₁+ x₂= _______ Producto: x_{1 ×}x₂= _______

-b/a = c/a =

a=1 b=-1 c=-42

Soluciones: x₁= ____ x₂= _____

Suma: x₁+ x₂= _______ Producto: x_{1 ×}x₂= _______

-b/a = c/a =

Si todo ha salido bien, serán válidas las fórmulas:

La suma equivale a -b/a y el producto a c/a.

Si el valor del coeficiente a es 1, la suma será equivalente a -b y el producto a c.

Aprovecha lo anterior para inventar una ecuación cuyas soluciones sean 6 y 7.

Compruébalo.

Resumimos lo que has aprendido:

¿Cuándo las dos soluciones de una ecuación de segundo grado son iguales?

¿Crees que será así en este caso: x² - 18x + 81 =0 ? Responde sin resolver la ecuación.

¿Y en este otro: : x² - 10x + 2 =0 ?

¿Cuándo una de las soluciones es cero?

¿Crees que será así en este caso: x² - 8x + 1 =0 ? Responde sin resolver la ecuación.

¿Y en este otro: : x² - 10x =0 ?

¿Cuándo una solución es positiva y la otra negativa?

¿Crees que será así en este caso: x² - 11x + 8 =0 ? Responde sin resolver la ecuación.

¿Y en este otro: -x² - 11x + 2 =0 ? (Cuidado con el signo de a)

¿Qué ha de ocurrir para que una ecuación tenga dos soluciones distintas?

¿Crees que ocurrirá así en : x² - 18x + 8 =0 ? Responde sin resolver la ecuación.

¿Y en este caso: : x² - x + 4 =0 ?

¿Y en este otro: : x² - 6x + 2 =0 ?

¿Qué ha de ocurrir para que una ecuación tenga dos soluciones iguales?

¿Crees que ocurrirá así en : x² - 2x + 1 =0 ? Responde sin resolver la ecuación.

¿Cuándo una ecuación de segundo grado carece de soluciones?

¿Crees que ocurrirá así en : x² - 8x + 4 =0 ? Responde sin resolver la ecuación.

Ahora inventa ecuaciones que cumplan lo que se te pide.

(Comprueba antes tus respuestas con el modelo de Excel)

a) Una ecuación con dos soluciones distintas y positivas

Propuesta tuya: a = b = c =

b) Otra con dos soluciones iguales

Propuesta tuya: a = b = c =

c) Una ecuación sin soluciones

Propuesta tuya: a = b = c =

d) Una ecuación cuyas dos soluciones sean ambas cero.

Propuesta tuya: a = b = c =

e) Por último, una ecuación cuyas soluciones sean opuestas.

Propuesta tuya: a = b = c =

Exprésate con el lenguaje algebraico

Fórmula para:

Saber el número de soluciones de una ecuación de segundo grado:

Para calcular la suma y el producto de las soluciones antes de resolver la ecuación.

Si una solución es nula ¿qué fórmula nos da la otra solución? Piensa bien y repasa de nuevo los ejemplos en los que ocurría así.

Intenta nuevos caminos

En la segunda parte del modelo tienes la comprobación de las soluciones con la celda x, pero hay otra celda con el rótulo a(x - x₁)(x - x₂) que aún no hemos usado. Lo haremos ahora.

Escribe un valor cualquiera en la celda x y conserva los valores de a, b y c. Compara los valores de la celda que contiene el valor de ax² + bx + c con la a(x - x₁)(x - x₂). Hazlo varias veces, cambiando los valores de x. No importa si son soluciones o no. ¿Qué observas? Escríbelo aquí:

_________________________________________________________________________

Efectivamente, las dos expresiones son equivalentes:

ax² + bx + c = a(x - x₁)(x - x₂)

Si escribimos el trinomio ax² + bx + c de la forma a(x - x₁)(x - x₂), diremos que lo hemos factorizado.

Intenta factorizar estos trinomios de segundo grado. Resuelve previamente la ecuación de segundo grado con Excel para hallar los valores de x₁y x_{2 .}Pide ayuda si no lo entiendes bien.

x² -11x + 30 =

2x² + 7x + 12 =

4x² + 9x + 2 =

INECUACIONES

Modelo para realizar un estudio numérico y gráfico de forma simultánea del concepto de inecuación

El modelo permite introducir cualquier inecuación en forma reducida, asignar un intervalo numérico para el estudio de la variación del valor y el signo de la expresión algebraica y realizar la representación gráfica de la ecuación asociada.

El alumno puede observar gráficamente las soluciones de la inecuación.

El modelo permite estudiar inecuaciones de cualquier grado.

INECUACIONES

Hoja del alumno

¿Qué es una inecuación?

Intenta responder a esta pregunta: ¿Qué es mayor 4x-2 o 2x+8?

Tómate tu tiempo antes de responder. Quizás creas que falta un dato o que es imposible encontrar una solución.

Expresa tu opinión: _____________________________________________________

Discútela con otros equipos o con el profesor y escribes la conclusión a la que has llegado:

______________________________________________________________________

Es de suponer que no tienes mucha seguridad en lo que has escrito. Con la ayuda de Excel vamos a intentar ordenar bien la resolución de este problema.

En primer lugar puedes tomar partido en la pregunta. Por ejemplo, puedes suponer que 4x-2 es mayor que 2x+8. No importa si te equivocas. Exprésalo en llenguaje algebraico:

4x-2 > 2x+8

Lo que acabas de leer es una inecuación, que es como una ecuación, pero en la que el signo básico no es el =, sino < o > o >=, etc.

Para resolver la inecuación con Excel debes hacer lo siguiente:

Pasa todos los términos de la inecuación al primer miembro. En este caso quedaría 4x-2-2x-8>0
Simplifica si quieres. Puedes dejarlo como 2x-10>0
Escribe ese primer miembro, en lenguaje de Excel, en la celda D17, precedida del signo = Así: =2*x-10
Arrastra la fórmula a toda la columna D de la tabla, usando el ancla de arrastre

En ese momento la columna de su derecha se llenará con signos + y signos -. Puede que todos sean + o todos -.

Cambia los valores de Inicio de la tabla y Final de la tabla hasta que veas que parte son de signo + y otra parte de –

Bien, has aprendido algo importante: La pregunta ¿Qué es mayor 4x-2 o 2x+8? tiene varias respuestas, según el valor de x:

Para algunos valores es mayor 4x-2 (cuando resulta el signo +)

y para otros es mayor 2x+8 (cuando es -).

¿Dónde comienzan unos o terminan otros?. Debe haber una barrera que los separe. Para encontrarla harás lo siguiente. Busca en la tabla dos valores consecutivos de x, en los que uno de ellos produzca un signo + y el otro -. Escribe como Inicio de la tabla el menor de ellos y como final el mayor. Si no lo entiendes pide ayuda.

Efectúa esta operación varias veces y descubrirás la barrera entre unos casos y otros.

Exprésalo:

4x-2 es mayor que 2x+8 en los números _______________________________

4x-2 es menor que 2x+8 en los números _______________________________

Esta es la solución de la inecuación. Como ves, hay infinitos números que cumplen lo propuesto y otros infinitos que no lo cumplen.

Para aprenderlo mejor, resuelve esta cuestión:

¿Qué números cumplen que 3x+4<5x-12?

En primer lugar, escribe 3x+4-5x+12 en la celda D17, o su simplificación. Arrastra la fórmula hacia abajo. Con ello obtendrás muchos signos + y -. Si no es así, cambia el Inicio, por ejemplo a -10 y el final a +10.

Cuando veas varios signos + y varios -, inicia el procedimiento de buscar dos x consecutivas, una con valor positivo y otra con negativo y, como hicimos antes, conviértelas en Inicio y Final. Repite hasta que descubras la barrera.

En esta caso la solución debe ser: "Números mayores que 8". ¿Es así?

Por tanto, la solución de una inecuación no es un número concreto, sino un intervalo de soluciones.

Practica un poco lo que has aprendido

Resuelve esta cuestión:

"Quiero que al añadir 40 unidades a un número obtengamos un resultado mayor que si lo multiplicamos por 2"

¿Cómo lo planteo? ¿Qué números me lo permitirán?

Procura dar los pasos que has aprendido. Comparte tus dudas con otras personas.

Escribe aquí tú solución: Todos los números que _______________________________

Y esta otra

¿Qué número es mayor, el que representa el área de un cuadrado o el que representa a su perímetro.?

Llámale x al lado del cuadrado y recuerda la fórmula del perímetro y la del área. Usa sólo números positivos. La solución tendrá que ver algo con el número 4.

Escribe aquí tú solución: Si el lado es mayor que ______ el mayor es el ______________ y si es menor, el ___________________

Qué prefieres, que multipliquen tu paga por 3 y te quiten 100 euros, o que la multipliquen por 2 y le añadan 50?

Dependerá de la paga. Discútelo con tus compañeros. Imagina una paga concreta. Plantea el problema con el ordenador y reflexiona.

Escribe la solución: Si la paga es ___________________ me conviene la primera operación y si no, la segunda.

Resume lo aprendido

Las inecuaciones son como las ecuaciones, pero usan los signos __________

Su solución no es un número único, sino ______________________________

Se llama intervalo de soluciones a ____________________________________

Practica un poco más

Resuelve estas inecuaciones:

7x/5 < 120+x

Solución: El intervalo formado por los números ____________________________

x - (3x-10) ³ 9 (Con Excel usa el signo >= en lugar de ³ )

Solución: El intervalo formado por los números ____________________________

x³ > 7x²

Solución: El intervalo formado por los números ____________________________

Inventa dos inecuaciones y resuélvelas

Primera inecuación:

Solución: ___________________________________________

Primera inecuación:

Solución: ___________________________________________

SISTEMAS DE ECUACIONES

Modelo que realiza la discusión de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

El modelo permite al alumno descubrir las condiciones de los coeficientes de las dos ecuaciones para que el sistema sea compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible

Permite tratar el problema inverso, es decir escribir sistemas de cada uno de los tipos.

SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES

Hoja del alumno

En primer lugar observa

Abre el programa Excel y (con la orden Archivo Abrir) el modelo Sistemas.xls. Obsérvalo bien y verás que contiene varias hojas distintas:

a) En la hoja Resolver el ordenador es el que resuelve el sistema. Para ello le tienes que escribir las seis cantidades a, b, c, d, h y k. Las primeras a, b, c y d se llaman coeficientes del sistema y la h y la k términos independientes. Prueba a efectuar tu primera resolución automática. Intenta resolver el sistema

3x + 2y = 7

x - y = 4

Basta con que escribas los coeficientes 3, 2, 1 y -1 en las celdas de a, b, c y d respectivamente y los términos independientes 7 y 4 en las suyas. ¿Cuáles son las soluciones?

Escríbelas: x = ______ y = _________

Las fórmulas que usa el ordenador son las de Cramer, que estudiarás dentro de unos años. Están escritas en la hoja de Fórmulas de Cramer. Abre esa hoja si quieres verlas. No tienes que aprendértelas, pero es bueno que las tengas a la vista. Si te gustan, la puedes usar en otros trabajos sobre sistemas que hagas.

b) En la hoja Comprobación puedes comprobar las soluciones que han resultado. Escribe 3 en la celda del valor de x y -1 en la celda de y. Así verás que 3x+2y (ax+by) vale efectivamente 7 (h) y que x - y (cx+dy) es 4 (k).

Cambia los valores de x e y por otros distintos y verás que ya no obtienes los valores 7 y 4.

La solución de un sistema de dos ecuaciones lineales

es un solo par de valores x e y. Cualquier otro par no es solución.

Esta hoja de Comprobación sirve también para que compruebes soluciones imaginadas o calculadas por ti. Por ejemplo, es muy sencillo adivinar las soluciones de este sistema:

4x + y = 9

2x + y = 7

Intenta adivinarlo, y cuando lo tengas escribe los valores en las celdas x e y de la hoja de comprobación. Si no obtienes 9 y 7 es que no lo has imaginado bien.

Escribe aquí las soluciones: x = _____ y = _____

Observa bien estos resultados y vas sacando consecuencias

Ahora te pedimos que resuelvas esta batería de sistemas, observes las soluciones o mensajes y escribas un comentario sobre lo que has visto. Después lo analizarás.

5x + 7y = 12

-2x + y = 10