HOJA DE CÁLCULO. EXCEL

 
 
 


Descripción del material

La hoja de cálculo, en la experimentación hemos utilizado EXCEL, de Microsoft Office, es una herramienta de primera magnitud para la adquisición de conceptos y destrezas matemáticas para el alumno de todos los cursos.

No se trata de que el alumno aprenda el funcionamiento de la hoja de cálculo como herramienta informática, basta con que conozca sus rudimentos. No es necesario, y a veces ni siquiera aconsejable ya que ello llevaría un exceso de tiempo del que habitualmente no disponemos, que el alumno construya sus propios modelos.

Nuestra línea de actuación ha ido encaminada a la realización por el profesor de los modelos relacionados directamente con un concepto matemático, y proporcionar a los alumnos hojas de trabajo sobre ese mismo modelo. La ventaja principal es la posibilidad de simular experimentos con un número importante de datos, algo imposible de conseguir en una clase normal, elaborar conjeturas y comprobar y validar las mismas y a partir de ahí construir y afianzar el concepto estudiado.

La posibilidad de incorporar a la simulación gráficos estadísticos dinámicos convierte a este material en imprescindible para el estudio del azar y la estadística. Pero su aplicación también se puede extender al estudio del álgebra y de la funciones.

El trabajo se realiza en equipos de dos personas por ordenador, el profesor suministra el modelo ya elaborado y la hoja de trabajo. En ocasiones las instrucciones de tareas a realizar están incorporadas en el propio modelo.

También se puede utilizar un determinado modelo con un solo ordenador y cañón de proyección.
 
 

Curso y nivel:

Según los modelos utilizados se puede usar en todos los cursos aunque es aconsejable en 3º y 4º de ESO al contar los alumnos con nociones de informática

Objetivos

Actividades



ÁLGEBRA

FICHA DEL MATERIAL

Título

Uso de la Hoja de Cálculo para la atención a la diversidad en el aprendizaje de algunas técnicas algebraicas.

Descripción del material

Estructura

Colección de modelos de Hoja de Cálculo Excel orientados a facilitar el aprendizaje del Álgebra

Simplificaciones: Modelo que comprueba si dos expresiones algebraicas con una o varias variables son equivalentes o no.

Adivinar un número: Permite la práctica de la jerarquía de operaciones mediante la construcción de un modelo que adivine un número pensado usando las técnicas de despejar variables.

Comprobaciones: Corrige las soluciones de una ecuación, dando simplemente la calificación de verdadero o falso.

Resoluciones: Permite resolver una ecuación por tanteo o mediante búsqueda de objetivos. También puede comprobar resultados ya dados.

Sistemas: Clasifica un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas y lo resuelve.

Inecuaciones: Visualiza los valores de una inecuación en un intervalo de números, a fin de descubrir los cambios de signo y encontrar las soluciones.

Ecuación de segundo grado: Desarrolla la fórmula correspondiente destacando el papel del discriminante en la distinción de casos.

Curso y nivel

Segundo ciclo de E.S.O.

Finalidad

Usar materiales de apoyo para lograr una mejor comprensión de los conceptos y técnicas algebraicas atendiendo a la diversidad mediante

Prerrequisitos

Cada modelo requiere que se hayan practicado las técnicas que contiene:

Simplificaciones: Deben conocer las técnicas de operar con paréntesis, reducir términos semejantes, igualdades notables, etc.

Adivinar un número: Deben haber despejado variables en sesiones anteriores

Comprobar y resolver ecuaciones y sistemas: Sólo se usarán estos modelos cuando los alumnos hayan resuelto ecuaciones y sistemas sencillos.

Inecuaciones: Puede usarse el modelo como primera sesión de trabajo, antes de aprender a resolver inecuaciones.

Ecuación de segundo grado: Deben haber resuelto alguna, pero no es imprescindible que sepan discutir los casos según el valor del discriminante.

Objetivos

Afianzar los conocimientos y técnicas algebraicas mediante otras formas de operar.

Aumentar la motivación con el uso del ordenador.

Incluir la posibilidad de discutir ecuaciones y sistemas sin pérdidas de tiempo en cálculos engorrosos.

Habituar a los alumnos a no dar por bueno un resultado hasta haber sido comprobado.

Efectuar prácticas rápidas como forma de entrenamiento.

Ver las inecuaciones como valores de una función en un intervalo.

Aprender que no todos los problemas de Álgebra tienen solución.

Conocer problemas con infinitas soluciones.

Relacionar el lenguaje algebraico usual con el propio de los ordenadores, specialmente en el uso del signo "*" para multiplicar.

Objetivos por niveles

Estos objetivos se marcarán dentro de cada grupo de alumnos según los niveles de conocimientos y capacidades que presenten. La posibilidad de usar varios ordenadores permitirá repartir las tareas de forma que se respete el ritmo de aprendizaje de cada alumno.

Metodología

Se repartirán los alumnos en grupos de dos por ordenador, debiendo desarrollar cada equipo una parte o la totalidad de los ejercicios propuestos. La composición de los equipos podrá buscar la homogeneidad y clasificación por niveles o bien la compensación, uniendo alumnos de distinto nivel para su apoyo mutuo.

Para organizar los progresos es conveniente rellenar algún tipo de ficha indicando los conceptos o técnicas que va dominando cada equipo, los trabajos realizados y las carencias observadas. Según los resultados se podrá cambiar la composición de los equipos.

En los distintos modelos que componen este material se aplicarán las siguientes líneas metodológicas :

Simplificaciones :

Se dedicará la mayor parte del tiempo a ejercitar a los alumnos en las técnicas algebraicas correspondientes, pero se aprovecharán los ejercicios para añadir referencias al contexto y realizar pequeñas traducciones entre el lenguaje natural y el algebraico.

Adivinar un número :

El principal recurso de este modelo es que los alumnos "harán Álgebra sin saberlo", como única posibilidad de funcionamiento correcto de las adivinanzas. Indirectamente repasarán también la jerarquía de operaciones.

Comprobar y resolver ecuaciones y sistemas :

En estos modelos la metodología será más compleja, pues se mezclarán sucesiva o alternativamente los siguientes recursos :

Inecuaciones :

La resolución de inecuaciones permite ensayar nuevas formas de ver las cuestiones algebraicas. Destacaremos :

Material

Hoja de Cálculo Excel

Modelos confeccionados para esta tarea:

Adivinador de números.xls

Sistemas.xls

Resolución de ecuaciones.xls

Ecuaciones 1.xls

Corrector algebraico.xls

Inecuación.xls

Ecuación de segundo grado.xls
 
 

Actividades

Se fijarán en función de las carencias observadas en cada grupo. Estarán recogidas en hojas de trabajo que pueden ser de dos tipos:

a) Hojas de trabajo con el ciclo de Observar- Relacionar- etc. con las que cada equipo alcance los objetivos adecuados a sus capacidades.

b) Listas de tareas rápidas con comprobación de resultados, cuyo único objetivo será la ejercitación en técnicas rutinarias. Estarán formadas por baterías clasificadas por su dificultad.
 

 
 
 
 
 
 


CORRECTOR ALGEBRAICO

Modelo para adquirir solvencia en el manejo y simplificación de expresiones algebraicas


 
 

Instrucciones incorporadas al modelo

 

CORRECTOR ALGEBRAICO

Hoja del alumno

OBSERVACIONES
 
 

Hacer tres baterías distintas según niveles

a) Suma, producto y combinados

b) Combinada desde el principio y con dos niveles de paréntesis

c) Con sumas entre paréntesis multiplicadas entre sí. Meter cuadrados de paréntesis al final.

Modelo

Debe tener como variables X,Y, A,B m,n, como mínimo

Debe ser aleatorio y comprobar los valores cinco veces, como en Apuntes

Idea: En otra hoja se generan cinco valores aleatorios para cada variable

después se da el valor 1 si el error es muy pequeño entre ambas expresiones

y valor cero en caso contrario. Luego se suma y así, si es 5, es verdadero-

Podemos incluir resultados numéricos

Teoría

Reglas prácticas para simplificar expresiones algebraicas

- Si dos cantidades tienen las mismas letras, aunque tengan distintos coeficientes, se pueden sumar:

7ab + 8ab = 15ab 5x2 + 12 x2 = 17 x2 ab + b = no se puede

- Para multiplicar letras con coeficientes:

- Se multiplican los coeficientes

- Se suman los exponentes de las mismas letras

- Se dejan indicadas las demás operaciones (no se puede multiplicar una letra por otra)
 
 

5a× 4a× 7a2b = 140a4b 3mn× 8m2n =24m3n2

- Calcular y simplificar

- Lo que se pueda, se calcula

- Lo que no, se deja indicado

- Si un paréntesis no se puede calcular, se quita:

Batería 1

Simplifica las siguientes expresiones algebraicas y comprueba con el ordenador:
 
 

8 – (9 – 3) = 2 ´ 6 – 7 =

(3 + 3) ´ 6 = 9 - 3´ 4 =

(3´ 7) – 15 = 9 + 12/4 =

4 – (8 + 1)/3 = 12/4 – 8/2 =

4 – 5/5 = 8 + (2 – 4)/2 =

9 + 22+4 = 3´ 83 =

(2´ 3 + 2) ´ 2 = 6 - (3´ 4 + 3) =
 
 

x + x + 2x = x + 2y - 3x + y = 5x - 3y + 2x + x - y =

4a + 5b - 3a + m +2n - 4m +7n

4x - 7y + a -(a -b) +(x-1) - (y+2) -2y =
 
 

Indica qué igualdades son ciertas y cuáles son falsas:

a + a + a = 3a a´ a = 2a x + y + x + y = 2x + 2y

2(x+y) = 2x + 2y x´ x + x = x2 + x m + m + m = m3

x – (y – z) = x – y – z (x + y) – (y+z) = x – z 3(x+1) – x = 3x+1
 
 

Traduce estas frases a expresiones algebraicas con las variables x e y y simplifica después

" A un número le sumo su anterior y su siguiente"

Traducción: Simplificación:

" A dos números distintos les resto su mitad y después los sumo"

Traducción: Simplificación:

" A la edad de Ana le resto la edad que tenía hace 6 años"

Traducción: Simplificación:

" Tomo el triple de un número y el doble del anterior de otro y después los resto"

Traducción: Simplificación:
 
 

Batería 2

Simplifica las siguientes expresiones algebraicas y comprueba con el ordenador:

3´ 5 – (2 - 1) = 2´ (7-2) – 3´ (5+2) =

4 – 2´ (2´ 2 - 1) = 8 + (3´ 22 – 4) =

(3-1)2+4´ 23 = 3´ 24 + 2´ (8-3)´ (5+2) =

2(x - y) + 3(x2 + x) = x(3x + y) + 2xy =

2x× 6x× 3x2 = 4xy× 4x2 y× 2x =

x2 + x(x + 2y) - xy = 2(x2 + y2 ) + x(x + y) =
 
 

Batería 3

Simplifica las siguientes expresiones algebraicas y comprueba con el ordenador:

3 - (2 - (3 - a)) + 2a - 3(a-1) =

5x + 7y - (x-(x2-y)) + 4(2x-3) =

(8-1)x+(2-7)y +3(2x-1)-3(y-2) =

3(2 - 3(x - (y-1)) + x) - (x - y) =

8x + x(x+2) +2x(x+3) - x2 =

a(a-b) - b(b-a) +4(a2 - b2) +a =

mn(3-m-n) - n(3m+2) +m(n-1) +4mn =

7m(m-2) + m(2m-3) - 4(m2 -1) =

2x(x2+x+2) - 2x(3x+4) -x2(2-x) =
 
 
 



   

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES



Introducción al concepto de ecuación

Traducción de lenguaje real a lenguaje algebraico
 
 






El alumno utiliza el modelo para comprobar sus resultados previos realizados con lápiz y papel.
 
 
 
 
 
 
 
 

COMPROBACIÓN DE SOLUCIONES DE ECUACIONES
 
 

Batería de ejercicios

Primer nivel

Resuelve estas ecuaciones y comprueba con Excel

10 + x = 22

10 – x = 2

7x + 2 = 9

3(x-2) = 6

(3x – 2)/3 = 2

x – (2 – x) = 4

x/7 + 10 = 12

8 – 3x = x + 4

Encuentra un número X que cumpla:

"Su triple es 423"

"Su doble más 3 equivale a 85"

"Si le quito 43 se queda en la mitad"

"Si le sumo su mitad se convierte en 63"

Para ello plantea la ecuación correspondiente, resuélvela y comprueba la solución con Excel.

"Meto 20 ptas. más en el bolsillo y resulta que ahora tengo un 10% más de dinero"
 
 

Segundo nivel

Resuelve estas ecuaciones y comprueba con Excel

(x-2)/4 + x = 13

3 – (x – (2x+2)) = 2 – x

x/4 + x/5 = 10 – x

(x – 12)/3 = (x-20)/2

6 + (2+x)/3 = (x+1)/4 +4
 
 
 
 
 
 

Tercer nivel

Resuelve estas ecuaciones y comprueba con Excel

2(3x-11) = 24 - (x+2)/6

2(3x+9)/5 - 6(x-7)/3 = 23

x - 3(2-x) - (8+x) = 200

2.5 + (8-1.5x) = 6.75x + 2

(x - (2 - x))/2 = x+ 5/4
 


ECUACIÓN DE 2º GRADO






Estudio completo de la ecuación de segundo grado.

Ecuaciones incompletas.

Discusión de las ecuaciones.

Suma y producto de las soluciones

El modelo permite resolver, comprobar y analizar la suma y el producto de las soluciones
 
 
 
 
 
 
 
 
 


ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

Hoja del alumno






En primer lugar observa

Abre el programa Excel y (con la orden Archivo Abrir) el modelo Ecuación de segundo grado.xls. Obsérvalo bien y verás que contiene tres hojas distintas:

Hoja "Resolver"

La primera hoja sirve para resolver la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c=0. Para ello dispones de tres celdas rotuladas con a, b y c respectivamente. Basta rellenar esas celdas y la ecuación quedará resuelta.

Intenta resolver así la ecuación 2x2 +5x + 3. =0

Para ello basta que escribas los valores a, b y c en sus celdas respectivas.

Escribe las soluciones obtenidas: x1 = ______ x2 = ________

Como ves, esta parte es muy fácil de manejar.

Hoja "Comprobar"

La segunda te sirve para comprobar soluciones. Si en la celda x escribes una de ellas, el valor del trinomio ax2 + bx + c deberá ser cero. Escribe así una de las soluciones que has obtenido. Si no te da cero de forma exacta, al menos te dará un número muy pequeño debido a errores inevitables del redondeo que efectúa el ordenador. Aparecerá el mensaje "Es solución".

Escribe en la celda x un valor que no sea solución. Observa que el valor del trinomio no da cero y que obtienes el mensaje "No es solución".

Por ahora puedes ignorar la celda a(x - x1)(x - x2)

Hoja "Suma y producto"

La tercera hoja te da la suma y el producto de las soluciones. Por ahora limítate a comprobarlo. Escribe los datos a=2 b=-10 c=8 en la Hoja "Resolver". Comprueba que las soluciones son 1 y 4 y que por tanto su suma es 5 y su producto es 4.

Ahora observa bien estos resultados y vas sacando consecuencias

Resuelve la ecuación 2x2 + 7x + 2 =0

¿Te llama algo la atención? Si no es así, limítate a comprobar las soluciones. Rellena la celda x de la Hoja "Comprobar" con cada una de las soluciones y observarás que, efectivamente, el valor de 2x2 + 7x + 3 es cero y obtienes el mensaje "Es solución".

Las soluciones de una ecuación de segundo grado convierten el trinomio ax2 + bx + c en cero

Escribe ahora en la celda x un valor cualquiera distinto a las soluciones. Evidentemente ahora el trinomio ax2 + bx + c no es cero y aparecerá el mensaje "No es solución".

Resuelve ahora la ecuación x2 -6x + 8 =0

Comprueba si las celdas de suma y producto dan los resultados correctos.

¿Podías haber adivinado las soluciones al ver los valores -6 y 8?

¿Te atreves a escribir (sin resolver) las soluciones de x2 - 4x + 3 =0?

Inténtalo: x1 = ______ x2 = ________ Escribe después los valores de a b y c para comprobarlo.

Resuelve la ecuación x2 + x - 30 =0

Escribe aquí el resultado: x1 = ______ x2 = ________

Ha salido una negativa y otra positiva. ¿No?

Ahora intenta resolver x2 -3x - 10 =0

a=1 b=-3 c=-10

Ahora también hay una positiva y otra negativa. ¿De qué dependerá eso?

Inventa algunas ecuaciones para averiguarlo. Cuando lo tengas escríbelo:

Una ecuación de segundo grado tiene soluciones de distinto signo cuando

_____________________________________________________________
 
 

Sigue observando estos casos especiales

Resuelve las ecuaciones x2 -12x =0 y 5x2 +13x=0

En primer lugar piensa cuáles serán los valores de a, b y c.

¿Qué observas? Responde: ______________________________________

¿Ocurre lo mismo con -3x2 -6x =0

Inventa un caso parecido y compruébalo

¿Cuándo ocurre lo que has observado?(escríbelo y coméntalo con tus profesores):

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

Vas a resolver un lote de ecuaciones sin que tengas que hacer ningún comentario por ahora. Escribe las soluciones de cada una y el valor de la expresión b2-4ac que te da el ordenador en la Hoja "Resolver":

a=1 b=-1 c=-1

Soluciones: x1 = ____ x2 = _____ b2-4ac=

a=1 b=-1 c=12

Soluciones: x1 = ____ x2 = _____ b2-4ac=

a=1 b=-8 c=16

Soluciones: x1 = ____ x2 = _____ b2-4ac=

a=1 b=6 c=9

Soluciones: x1 = ____ x2 = _____ b2-4ac=

a=1 b=2 c=8

Soluciones: x1 = ____ x2 = _____ b2-4ac=

a=1 b=20 c=8

Soluciones: x1 = ____ x2 = _____ b2-4ac=

Habrás observado que a veces no hay solución, o bien las dos que resultan son iguales. ¿De qué dependerá? Intentaremos averiguarlo:

¿Cómo es b2-4ac si no existe solución? _________________________

¿Y para que ambas sean iguales? ______________________________

¿Cómo son las soluciones si b2-4ac es positivo?___________________

Resume aquí lo que has aprendido:

Si b2-4ac>0 las dos soluciones son _____________________________

Si b2-4ac=0 las dos soluciones son _____________________________

Si b2-4ac<0 las dos soluciones son _____________________________
 
 

Por último, observaremos cómo son las soluciones cuando falta la b, es decir, cuando vale cero. Resuelve estas ecuaciones y escribe tu opinión.

x2 -144 =0 Soluciones: x1 = ____ x2 = _____

x2 +144 =0 Soluciones: x1 = ____ x2 = _____

x2 - 4 =0 Soluciones: x1 = ____ x2 = _____

x2 - 29 =0 Soluciones: x1 = ____ x2 = _____

Rellena:

Si en la ecuación de segundo grado el coeficiente b es cero y el coeficiente c es _______________, entonces hay dos soluciones que son ________________________
 
 

Trabajo voluntario:

Inventa ecuaciones cuyas soluciones sean números enteros. Explica cómo lo haces:
 
 
 
 
 
 

Fórmulas para la suma y el producto de las dos soluciones
 
 

En los siguientes casos debes tomar nota de las soluciones y también de la suma y el producto que da el ordenador:

a =1 b = -10 c = 24

Soluciones: x1 = ____ x2 = _____

Suma: x1 + x2 = _______ Producto: x1 × x2 = _______

a=1 b=7 c=12

Soluciones: x1 = ____ x2 = _____

Suma: x1 + x2 = _______ Producto: x1 × x2 = _______

Lee las fórmulas de suma y producto que usa este modelo de Excel. ¿Estás de acuerdo?

¿Crees que la suma equivale a -b/a y el producto a c/a?

Para comprobarlo resuelve las ecuaciones siguientes y rellena los valores que se te piden, pero comprobando si las fórmulas son correctas:

a=2 b=20 c=50

Soluciones: x1 = ____ x2 = _____

Suma: x1 + x2 = _______ Producto: x1 × x2 = _______

-b/a = c/a =

a=1 b=-1 c=-42

Soluciones: x1 = ____ x2 = _____

Suma: x1 + x2 = _______ Producto: x1 × x2 = _______

-b/a = c/a =
 
 

Si todo ha salido bien, serán válidas las fórmulas:

La suma equivale a -b/a y el producto a c/a.

Si el valor del coeficiente a es 1, la suma será equivalente a -b y el producto a c.

Aprovecha lo anterior para inventar una ecuación cuyas soluciones sean 6 y 7.

Compruébalo.

Resumimos lo que has aprendido:

¿Cuándo las dos soluciones de una ecuación de segundo grado son iguales?

¿Crees que será así en este caso: x2 - 18x + 81 =0 ? Responde sin resolver la ecuación.

¿Y en este otro: : x2 - 10x + 2 =0 ?

¿Cuándo una de las soluciones es cero?

¿Crees que será así en este caso: x2 - 8x + 1 =0 ? Responde sin resolver la ecuación.

¿Y en este otro: : x2 - 10x =0 ?

¿Cuándo una solución es positiva y la otra negativa?

¿Crees que será así en este caso: x2 - 11x + 8 =0 ? Responde sin resolver la ecuación.

¿Y en este otro: -x2 - 11x + 2 =0 ? (Cuidado con el signo de a)
 
 

¿Qué ha de ocurrir para que una ecuación tenga dos soluciones distintas?
 
 

¿Crees que ocurrirá así en : x2 - 18x + 8 =0 ? Responde sin resolver la ecuación.
 
 

¿Y en este caso: : x2 - x + 4 =0 ?

¿Y en este otro: : x2 - 6x + 2 =0 ?
 
 

¿Qué ha de ocurrir para que una ecuación tenga dos soluciones iguales?
 
 

¿Crees que ocurrirá así en : x2 - 2x + 1 =0 ? Responde sin resolver la ecuación.
 
 

¿Cuándo una ecuación de segundo grado carece de soluciones?
 
 

¿Crees que ocurrirá así en : x2 - 8x + 4 =0 ? Responde sin resolver la ecuación.
 
 
 
 

Ahora inventa ecuaciones que cumplan lo que se te pide.

(Comprueba antes tus respuestas con el modelo de Excel)

a) Una ecuación con dos soluciones distintas y positivas

Propuesta tuya: a = b = c =
 
 

b) Otra con dos soluciones iguales

Propuesta tuya: a = b = c =
 
 

c) Una ecuación sin soluciones

Propuesta tuya: a = b = c =

d) Una ecuación cuyas dos soluciones sean ambas cero.

Propuesta tuya: a = b = c =
 
 

e) Por último, una ecuación cuyas soluciones sean opuestas.

Propuesta tuya: a = b = c =
 
 
 
 

Exprésate con el lenguaje algebraico

Fórmula para:

Saber el número de soluciones de una ecuación de segundo grado:
 
 
 
 
 
 

Para calcular la suma y el producto de las soluciones antes de resolver la ecuación.

Si una solución es nula ¿qué fórmula nos da la otra solución? Piensa bien y repasa de nuevo los ejemplos en los que ocurría así.
 
 

Intenta nuevos caminos

En la segunda parte del modelo tienes la comprobación de las soluciones con la celda x, pero hay otra celda con el rótulo a(x - x1)(x - x2) que aún no hemos usado. Lo haremos ahora.

Escribe un valor cualquiera en la celda x y conserva los valores de a, b y c. Compara los valores de la celda que contiene el valor de ax2 + bx + c con la a(x - x1)(x - x2). Hazlo varias veces, cambiando los valores de x. No importa si son soluciones o no. ¿Qué observas? Escríbelo aquí:

_________________________________________________________________________

Efectivamente, las dos expresiones son equivalentes:

ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)

Si escribimos el trinomio ax2 + bx + c de la forma a(x - x1)(x - x2), diremos que lo hemos factorizado.

Intenta factorizar estos trinomios de segundo grado. Resuelve previamente la ecuación de segundo grado con Excel para hallar los valores de x1 y x2 . Pide ayuda si no lo entiendes bien.

x2 -11x + 30 =
 
 

2x2 + 7x + 12 =
 
 

4x2 + 9x + 2 =
 
 






INECUACIONES






Modelo para realizar un estudio numérico y gráfico de forma simultánea del concepto de inecuación

El modelo permite introducir cualquier inecuación en forma reducida, asignar un intervalo numérico para el estudio de la variación del valor y el signo de la expresión algebraica y realizar la representación gráfica de la ecuación asociada.

El alumno puede observar gráficamente las soluciones de la inecuación.

El modelo permite estudiar inecuaciones de cualquier grado.
 
 


INECUACIONES

Hoja del alumno






¿Qué es una inecuación?

Intenta responder a esta pregunta: ¿Qué es mayor 4x-2 o 2x+8?

Tómate tu tiempo antes de responder. Quizás creas que falta un dato o que es imposible encontrar una solución.

Expresa tu opinión: _____________________________________________________

Discútela con otros equipos o con el profesor y escribes la conclusión a la que has llegado:

______________________________________________________________________

Es de suponer que no tienes mucha seguridad en lo que has escrito. Con la ayuda de Excel vamos a intentar ordenar bien la resolución de este problema.

En primer lugar puedes tomar partido en la pregunta. Por ejemplo, puedes suponer que 4x-2 es mayor que 2x+8. No importa si te equivocas. Exprésalo en llenguaje algebraico:

4x-2 > 2x+8

Lo que acabas de leer es una inecuación, que es como una ecuación, pero en la que el signo básico no es el =, sino < o > o >=, etc.

Para resolver la inecuación con Excel debes hacer lo siguiente:

En ese momento la columna de su derecha se llenará con signos + y signos -. Puede que todos sean + o todos -.

Cambia los valores de Inicio de la tabla y Final de la tabla hasta que veas que parte son de signo + y otra parte de –

Bien, has aprendido algo importante: La pregunta ¿Qué es mayor 4x-2 o 2x+8? tiene varias respuestas, según el valor de x:

Para algunos valores es mayor 4x-2 (cuando resulta el signo +)

y para otros es mayor 2x+8 (cuando es -).
 
 

¿Dónde comienzan unos o terminan otros?. Debe haber una barrera que los separe. Para encontrarla harás lo siguiente. Busca en la tabla dos valores consecutivos de x, en los que uno de ellos produzca un signo + y el otro -. Escribe como Inicio de la tabla el menor de ellos y como final el mayor. Si no lo entiendes pide ayuda.

Efectúa esta operación varias veces y descubrirás la barrera entre unos casos y otros.

Exprésalo:

4x-2 es mayor que 2x+8 en los números _______________________________

4x-2 es menor que 2x+8 en los números _______________________________

Esta es la solución de la inecuación. Como ves, hay infinitos números que cumplen lo propuesto y otros infinitos que no lo cumplen.

Para aprenderlo mejor, resuelve esta cuestión:

¿Qué números cumplen que 3x+4<5x-12?

En primer lugar, escribe 3x+4-5x+12 en la celda D17, o su simplificación. Arrastra la fórmula hacia abajo. Con ello obtendrás muchos signos + y -. Si no es así, cambia el Inicio, por ejemplo a -10 y el final a +10.

Cuando veas varios signos + y varios -, inicia el procedimiento de buscar dos x consecutivas, una con valor positivo y otra con negativo y, como hicimos antes, conviértelas en Inicio y Final. Repite hasta que descubras la barrera.

En esta caso la solución debe ser: "Números mayores que 8". ¿Es así?

Por tanto, la solución de una inecuación no es un número concreto, sino un intervalo de soluciones.
 
 

Practica un poco lo que has aprendido

Resuelve esta cuestión:

"Quiero que al añadir 40 unidades a un número obtengamos un resultado mayor que si lo multiplicamos por 2"

¿Cómo lo planteo? ¿Qué números me lo permitirán?

Procura dar los pasos que has aprendido. Comparte tus dudas con otras personas.

Escribe aquí tú solución: Todos los números que _______________________________

Y esta otra

¿Qué número es mayor, el que representa el área de un cuadrado o el que representa a su perímetro.?

Llámale x al lado del cuadrado y recuerda la fórmula del perímetro y la del área. Usa sólo números positivos. La solución tendrá que ver algo con el número 4.

Escribe aquí tú solución: Si el lado es mayor que ______ el mayor es el ______________ y si es menor, el ___________________
 
 

Qué prefieres, que multipliquen tu paga por 3 y te quiten 100 euros, o que la multipliquen por 2 y le añadan 50?

Dependerá de la paga. Discútelo con tus compañeros. Imagina una paga concreta. Plantea el problema con el ordenador y reflexiona.

Escribe la solución: Si la paga es ___________________ me conviene la primera operación y si no, la segunda.
 
 

Resume lo aprendido

Las inecuaciones son como las ecuaciones, pero usan los signos __________

Su solución no es un número único, sino ______________________________

Se llama intervalo de soluciones a ____________________________________
 
 

Practica un poco más

Resuelve estas inecuaciones:

7x/5 < 120+x

Solución: El intervalo formado por los números ____________________________

x - (3x-10) ³ 9 (Con Excel usa el signo >= en lugar de ³ )

Solución: El intervalo formado por los números ____________________________

x3 > 7x2

Solución: El intervalo formado por los números ____________________________

Inventa dos inecuaciones y resuélvelas

Primera inecuación:

Solución: ___________________________________________

Primera inecuación:

Solución: ___________________________________________
 
 


SISTEMAS DE ECUACIONES






Modelo que realiza la discusión de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
 
 

El modelo permite al alumno descubrir las condiciones de los coeficientes de las dos ecuaciones para que el sistema sea compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible

Permite tratar el problema inverso, es decir escribir sistemas de cada uno de los tipos.
 
 




SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES
 
 

Hoja del alumno

En primer lugar observa

Abre el programa Excel y (con la orden Archivo Abrir) el modelo Sistemas.xls. Obsérvalo bien y verás que contiene varias hojas distintas:

a) En la hoja Resolver el ordenador es el que resuelve el sistema. Para ello le tienes que escribir las seis cantidades a, b, c, d, h y k. Las primeras a, b, c y d se llaman coeficientes del sistema y la h y la k términos independientes. Prueba a efectuar tu primera resolución automática. Intenta resolver el sistema

3x + 2y = 7

x - y = 4

Basta con que escribas los coeficientes 3, 2, 1 y -1 en las celdas de a, b, c y d respectivamente y los términos independientes 7 y 4 en las suyas. ¿Cuáles son las soluciones?

Escríbelas: x = ______ y = _________

Las fórmulas que usa el ordenador son las de Cramer, que estudiarás dentro de unos años. Están escritas en la hoja de Fórmulas de Cramer. Abre esa hoja si quieres verlas. No tienes que aprendértelas, pero es bueno que las tengas a la vista. Si te gustan, la puedes usar en otros trabajos sobre sistemas que hagas.

b) En la hoja Comprobación puedes comprobar las soluciones que han resultado. Escribe 3 en la celda del valor de x y -1 en la celda de y. Así verás que 3x+2y (ax+by) vale efectivamente 7 (h) y que x - y (cx+dy) es 4 (k).

Cambia los valores de x e y por otros distintos y verás que ya no obtienes los valores 7 y 4.

La solución de un sistema de dos ecuaciones lineales

es un solo par de valores x e y. Cualquier otro par no es solución.

Esta hoja de Comprobación sirve también para que compruebes soluciones imaginadas o calculadas por ti. Por ejemplo, es muy sencillo adivinar las soluciones de este sistema:

4x + y = 9

2x + y = 7

Intenta adivinarlo, y cuando lo tengas escribe los valores en las celdas x e y de la hoja de comprobación. Si no obtienes 9 y 7 es que no lo has imaginado bien.

Escribe aquí las soluciones: x = _____ y = _____

Observa bien estos resultados y vas sacando consecuencias

Ahora te pedimos que resuelvas esta batería de sistemas, observes las soluciones o mensajes y escribas un comentario sobre lo que has visto. Después lo analizarás.

5x + 7y = 12

-2x + y = 10

Soluciones: x= _____ y= _______

Comentario: ________________________________________________

3x - 2y = 12

6x - 4y = 16

Soluciones: x= _____ y= _______

Comentario: ________________________________________________
 
 

5x + y = 5

7x + y = 7

Soluciones: x= _____ y= _______

Comentario: ________________________________________________
 
 

x + y = 18

x - y = 0

Soluciones: x= _____ y= _______

Comentario: ________________________________________________
 
 

x + 2y = 2

2x + 4y = 10

Soluciones: x= _____ y= _______

Comentario: ________________________________________________
 
 

x + y = 0

x - y = 10

Soluciones: x= _____ y= _______

Comentario: ________________________________________________
 
 
 
 

3x + 3y = 21

x + y = 7

Soluciones: x= _____ y= _______

Comentario: ________________________________________________
 
 
 
 

8x - 5y = 0

x + y = 0

Soluciones: x= _____ y= _______

Comentario: ________________________________________________

Escribe los descubrimientos que has hecho

En primer lugar, recuerda que algún sistema no se ha podido resolver. Escribe aquí sus datos:

a= b= c= d= h= k=

Vuelve a rellenar las celdas correspondientes con esos datos y obtendrás el mensaje de que No existen soluciones. No cambies nada y observa el valor de las celdas D , D x y D y ¿Cuál de ellas vale cero? : ________________________

Como ves, las otras dos no valen cero.

Intenta lo mismo con este otro sistema

4x + 3y = 10

2x + 1,5y = 6

¿Sigue valiendo cero la misma expresión que antes y las otras no? ______________________

Ahora con este otro

x + y = 9

2x + 2y = 12

Comprueba que tampoco te da solución. Pero con este podrías haberte dado cuenta del fallo; Si

x + y vale 9, 2x + 2y tendría que valer: ________________

Efectivamente, el sistema no tiene solución porque hay un fallo de lógica, pues si dos cantidades las convierto en su doble, su suma también se hace doble.

Ahora viene una sorpresa: Sustituye el valor de k=12 por ese otro valor que has pensado.

¿Cuál es el mensaje del ordenador? __________________________________________

O sea, al arreglar el fallo aparece otro en su lugar. La culpable es la cantidad D , que tiene como fórmula a*d - b*c, la cual al valer cero estropea el proceso.

Intenta pensar en ello estudiando bien la Hoja de Fórmulas de Cramer:

La cantidad D = a*d - b*c no debe valer cero, porque en las fórmulas de Cramer es el _______________ de una fracción, y los ___________________ no pueden anularse nunca.

¿Por qué no se puede anular? Discútelo con los compañeros y profesores.

Escribe aquí tu opinión definitiva

____________________________________________________________

____________________________________________________________
 
 

Ahora escribe los sistemas que has intentado resolver en los que has obtenido el mensaje de Indeterminado

En todos ellos la cantidad D = a*d - b*c vale cero, pero ¿Qué otro hecho ocurre? ___________

________________________________________________________________________

En estos casos no hay un fallo de lógica, pero en realidad se nos dice lo mismo dos veces con cantidades distintas. Por ejemplo, resuelve

x + y = 2

4x + 4y = 8

y comprueba que tiene infinitas soluciones. Si miras bien el sistema te darás cuenta que es como si te vendieran una sola cosa al precio de dos. Si te dicen que x + y = 2, es lo mismo que lo que hay debajo, que 4x + 4y =8.

En estos sistemas sólo tenemos una ecuación,

pues la segunda afirma lo mismo que la primera

pero con otros números

¿Qué cantidades de las tres D = a*d - b*c , D x = a*k - b*h y D y = b*k-d*h valen cero?

____________________________________________________________

Así que en este caso una o dos de las soluciones equivalen a 0/0, y esa operación tiene infinitas posibilidades. ¿Por qué? Discútelo con compañeros y profesores y escríbelo:

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________
 
 

Sigue observando estos casos

Resuelve estos sistemas, escribe las soluciones o los mensajes que obtienes y rellena los valores de D , D x y D y

6x + 7y = 23

12x + 14y = 46

Soluciones o mensaje: ___________________________________________

Valores de D ______, D x _______y D y________

6x + 7y = 23

12x + 11y = 46

Soluciones o mensaje: ___________________________________________

Valores de D ______, D x _______y D y________
 
 
 
 

6x + 7y = 23

12x + 14y = 42

Soluciones o mensaje: ___________________________________________

Valores de D ______, D x _______y D y________
 
 
 
 
 
 

6x + 7y = 20

12x + 14y = 40

Soluciones o mensaje: ___________________________________________

Valores de D ______, D x _______y D y________
 
 

6x + 7y = 6

12x + 14y = 14

Soluciones o mensaje: ___________________________________________

Valores de D ______, D x _______y D y________
 
 
 
 

6x + 7y = 3

12x + 14y = 6

Soluciones o mensaje: ___________________________________________

Valores de D ______, D x _______y D y________
 
 
 
 

Resume lo aprendido

Un sistema no tiene solución si ___________________________________,

tiene infinitas soluciones si ______________________________________

y tiene una solución única si _____________________________________

A los primeros se les llama Incompatibles, a los segundos Indeterminados y al que tiene una solución Determinado.

Trabajo voluntario:

Para saber si un sistema es determinado, indeterminado o incompatible hay una forma muy sencilla: Se calculan estos tres cocientes: a/b , c/d y h/k se comparan. Según los que sean iguales y los que sean distintos se sabe fácilmente cuántas soluciones tiene el sistema.

Intenta averiguarlo calculando esos cocientes en los sistemas que has resuelto (no en todos, sólo los que presenten algo de interés)

Escribe aquí qué regla hay que aplicar con esos tres cocientes para distinguir las tres clases de sistemas
 
 
 
 

Otro trabajo voluntario:

¿En qué tipo de sistemas la incógnita y vale cero? Puedes usar los tres cocientes del trabajo anterior.
 
 
 
 
 
 

¿Y cuándo la x vale cero?
 
 

Ahora inventa sistemas de los tres tipos y comprueba que lo has hecho bien.

En cada uno de ellos consulta la hoja de Gráfica del sistema y toma nota de cómo son las dos rectas que representan el sistema en cada un de los casos:

Inventa dos Incompatibles

Primer sistema Segundo

Las rectas del sistema son : _______________________________________
 
 

Inventa dos Indeterminados:

Primer sistema Segundo
 
 

Las rectas del sistema son : _______________________________________

Inventa dos Determinados

Primer sistema Segundo
 
 
 
 

Las rectas del sistema son : _______________________________________
 
 

Exprésate con el lenguaje algebraico

Las fórmulas de Cramer no tienen ningún misterio. Las puedes demostrar tú con cualquier método de resolver sistemas, por ejemplo el de sustitución.

Escribe en esta hoja o en tu cuaderno la ecuación

ax + by = h

bx + cy = k

Después despejas la x en la primera ecuación y te dará (con letras) x =

Sustituye lo que te ha dado en la segunda ecuación, quita paréntesis y denominadores.

Ahora viene lo más difícil. Pide ayuda si no te sale.

Deberás pasar al primer miembro todos los términos que tenga la incógnita y y después sacar factor común esa y. Una vez que lo hagas, despeja la incógnita debidamente y te resultará la fórmula de Cramer para la y.

La fórmula de la x se demuestra de forma similar. Si lo haces, escribe el desarrollo aquí abajo:
 


AZAR Y ESTADÍSTICA

FICHA DEL MATERIAL

Título
 
 

Uso de la Hoja de Cálculo para la atención a la diversidad en el aprendizaje de algunas técnicas para el cálculo de probabilidades y para la introducción de los conceptos y técnicas estadísticas
 
 
 
 

Descripción del material

Estructura

Colección de modelos de Hoja de Cálculo Excel orientados a facilitar el aprendizaje del Azar y la Estadística descriptiva.

Los modelos están fundados en simulaciones de experimentos aleatorios y estadísticos que permiten al alumno ver la evolución de las probabilidades y de los parámetros estadísticos en situaciones próximas a la realidad.

Modelos:

Carrera aleatoria para el estudio de frecuencias

Ley de los grandes números

Dados, lanzamiento de dos dados y estudio de probabilidades

Tirada de monedas

Simulación del aparato de Galton

Frecuencia: estudio de datos agrupados

Datos cuantitativos aislados: estudio de parámetros estadísticos

Palabras: estudio estadístico de la distribución de vocales en castellano

Curso y nivel

Segundo ciclo de E.S.O.

Finalidad

Usar materiales de apoyo para lograr una mejor comprensión de los conceptos y técnicas atendiendo a la diversidad mediante


CARRERA DE CEROS






Modelo para estudiar en un contexto lúdico las frecuencias absolutas y relativas de sucesos.
 
 


 
 

FRECUENCIA Y PROBABILIDAD

Modelo para comprobar empíricamente la convergencia de frecuencia y probabilidad


 
 
 
 
 
 
 

LANZAMIENTO DE DOS DADOS

Simulación del lanzamiento de dos dados y estudio de las probabilidades mediante apuestas.


 
 
 
 
 

TIRADA DE MONEDAS

Simulación del experimento consistente en tirar un número de monedas entre 1 y 6, para el estudio de probabilidades simples y compuestas


 
 
 
 
 

EXPERIMENTO DE GALTON

Simulación del famoso aparato para el estudio de probabilidades.
 
 


 
 

DISTRIBUCIÓN DE ESTATURAS

Modelo que genera las estaturas de 100 personas para el estudio de la frecuencia de datos por intervalos y comprobar el ajuste con una curva de Gauss.


 
 
 
 
 

DATOS CUANTITATIVOS AISLADOS

Modelo para calcular los siguientes parámetros estadísticos: media, varianza, desviación típica, coeficiente de variación, mediana, cuartiles...


 
 

PALABRAS

Modelo para realizar el estudio estadístico de la longitud de las palabras en castellano.


 


Ir a otros materiales
Página principal