Se han usado 24 calculadoras gráfica del modelo TI-82 de Texas Instrument. La elección del modelo ha venido condicionada por motivos prácticos y de índole económica y administrativa.

Se ha trabajado siempre con la ayuda de Hojas de Instrucciones, salvo en grupos con cierta experiencia, y después de pasadas varias sesiones. Estas hojas han detallado mucho las instrucciones, llegando a explicar las pulsaciones de las teclas una por una. No era posible una explicación menos detallada debido a la enorme complicación de la gestión de comandos, menús y opciones.

Los principales temas estudiados con auxilio de la calculadora han sido los siguientes:

Álgebra:

Ha sido la parte del temario en la que más se han usado las calculadoras. Podemos distinguir los siguientes temas:

1. Resolución de ecuaciones: Se han estudiado de forma ordenada las de primer grado, de segundo y de grado superior o no algebraicas. Esta progresión en los temas ha sido beneficiosa, pues ha permitido mejorar el uso de los menús e instrucciones al ir avanzando de un tipo de ecuación a otro. Debemos destacar la resolución de ecuaciones mediante tablas, que ha resultado novedosa y muy intuitiva.
2. Resolución de sistemas de ecuaciones: En este tema ha habido grandes diferencias entre los cursos. En 4º de E.S.O. se han distinguido bien entre los de primer grado y de segundo.

 

3. Resolución de inecuaciones: Se ha resuelto inecuaciones y sistemas de primero y segundo grado, mediante la observación de los cortes de las gráficas con el eje x y el estudio de las regiones superiores e inferiores a ese eje. Salvo algunas operaciones algo oscuras, ha sido muy positivo el uso de las calculadoras, al dar otra visión distinta de lo que es una inecuación. Algunos grupos han iniciado ideas de Programación Lineal.

Análisis:

En el estudio de funciones ha habido también diferencias en la orientación según los cursos. En general, se puede destacar la facilidad en la construcción de familias de funciones mediante el cambio de los valores de los parámetros y en la búsqueda visual de elementos importantes de las gráficas, como cortes, máximos y mínimos o asíntotas.

Estadística:

Han servido para explicar estadísticas de una o dos variables, con representación gráfica y cálculo de medias y desviaciones típicas. En algunos casos se han integrado los trabajos en otros más amplios de recogida de datos dentro de la asignatura de Taller de Matemáticas.

Finalidad:

-En la parte de Estadística se puede considerar el uso de calculadoras como imprescindible, dentro de la orientación práctica y de experimentación que queremos conseguir en nuestro centro. Calcular la desviación típica con el uso de la fórmula es una tarea ingrata que se olvida a la semana siguiente, pero ver la influencia de la dispersión de una gráfica o nube en el valor de esa desviación es más formativo y permanente.

-Es también muy útil el uso de la calculadora en los temas de ecuaciones y funciones, pues al dar una imagen gráfica de los temas, permite un tratamiento distinto al algebraico, completándolo y a veces quitando importancia a los algoritmos. Esto se observa especialmente en ecuaciones de grado superior a dos.

Secuenciación

Parte del éxito en algunos temas ha dependido de una buena secuenciación de contenidos y metodología. Al principio se han elaborado las Hojas de Instrucciones con mucho detalle, describiendo las pulsaciones de teclas, incluso la tecla ENTER, que después se da por supuesta. Ha sido la única forma posible de usar unas calculadoras tan complicadas. Sólo después de cinco o seis sesiones se ha podido simplificar los documentos de apoyo y dar por supuestas ciertas operaciones. Al final, sólo algunos grupos pudieron trabajar sin ninguna hoja.

Repetición de técnicas

Algunos temas, como el cálculo de la media en Estadística y la resolución de ecuaciones e inecuaciones, se han visto varias veces, en sesiones distintas, con problemas de dificultad creciente. Así se ha conseguido afianzar las destrezas y dar mayor libertad de decisión a los alumnos.

Valoración final

El uso de calculadoras gráficas permite aclarar algunos temas y completar otros. Los alumnos las aceptan muy bien, pero tienen dificultades con la gestión de comandos. Esto hace imprescindibles las hojas de apoyo, especialmente en las primeras sesiones. No se debe pretender usarlas en todos los temas, pero son muy útiles en Estadística, resoluciones algebraicas y estudio de funciones.

Siempre deben usarse en todo un ciclo, pues el aprendizaje es lento y no se ven los resultados hasta haber realizado varios estudios.

Resolver la ecuación 2(x²-2) = 3x²+5x

PREPARACIÓN DE LA ECUACIÓN

Pasa todos los términos de la ecuación al primer miembro y en el segundo deja un cero. Usa como fórmula el primer miembro que te resulte. En este caso 2(x² - 2) - 3x² - 5x

ESCRITURA DE LA ECUACIÓN COMO FUNCIÓN

Pulsa la tecla Y= . Si ves que hay datos en Y1, Y2, etc., bórralos uno a uno con la tecla CLEAR. Señala Y1= con las flechas de cursor y escribe al lado la fórmula de la función.

APROXIMACIÓN A LAS SOLUCIONES

Pulsa GRAPH para ver la gráfica, que deberá ser una parábola. Los puntos en los que toque al eje X serán las soluciones de la ecuación.

Para ver bien la parábola puedes comenzar con ZOOM 6:Zstandard y después usar 2:Zoom In para acercar la imagen y 3:Zoom Out para alejar. También puedes usar la tecla WINDOW para concretar los valores máximos y mínimos de la X y de la Y, con las variables Xmin, Xmax, Ymin e Ymax.

Verás que hay dos puntos en los que la gráfica corta al eje X cerca del -1 y del -4. Con la tecla TRACE y el zoom in puedes acercar la imagen e ir moviendo el cursor para verlo mejor.

MEJORA DE LA APROXIMACIÓN

Para mejorar la aproximación a la solución debes acudir a la tecla CALC y 2:root. Aparecerá de nuevo la gráfica y se harán las tres preguntas que ya conoces:

a) Lower Bound? : Mueve el cursor a la izquierda del corte y pulsa ENTER.

b) Upper Bound? : Mueve a la derecha de la solución y da a ENTER.

c) Guess? : Lleva el punto lo más cerca posible de la solución y pulsa ENTER.

Deberá darte como valores exactos de las soluciones x=-4 y x=-1, que es lo que sospechábamos.

EJERCICIOS

Para cada cuestión debes encontrar las soluciones (si las hay) con la calculadora, dibujar la gráfica aproximada al lado y por último, si vas bien de tiempo, resuelve la ecuación con tus propios medios.

x²+6x-22=0 Soluciones Dibujo aproximado Planteo

x₁ =

x₂ =

x²+2x+5=0 Soluciones Dibujo aproximado Planteo

x₁ =

x₂ =

x²+(x-2)(x+3)=12=0 Soluciones Dibujo aproximado Planteo

x₁ =

x₂ =

3x²+6x=0 Soluciones Dibujo aproximado Planteo

x₁ =

x₂ =

x/7+x²=2+x/4 Soluciones Dibujo aproximado Planteo

x₁ =

x₂ =

-x²+4x-4=0 Soluciones Dibujo aproximado Planteo

x₁ =

x₂ =

(x-3)²+x=59 Soluciones Dibujo aproximado Planteo

x₁ =

x₂ =

(2x+1)² = 225 Soluciones Dibujo aproximado Planteo

x₁ =

x₂ =

75-x²+4=20x Soluciones Dibujo aproximado Planteo

x₁ =

x₂ =

3(x²+4)=7x/8 Soluciones Dibujo aproximado Planteo

x₁ = x₂ =

Recuerda que para resolver una ecuación de 2º grado es necesario presentarla previamente en forma reducida:

ax² + bx + c = 0

es decir, con todos los términos no nulos en el primer miembro.

Ejemplo

Resolver la ecuación: 2x² - 3x + 3 = x² + 7

1. Forma reducida: x² - 3x - 4 = 0
2. La inecuación tendrá una parábola asociada que es: y = x² - 3x - 4
3. Resolver la ecuación equivale a averiguar en qué puntos la parábola corta al eje OX.

RESOLUCIÓN CON LA CALCULADORA

1. Escribe la función asociada.

Pulsa la tecla Si hay una fórmula en Y₁, bórrala con CLEAR. Coloca el cursor en Y₁ y teclea la función:

- 3 - 4

2. Pulsa y te aparecerá la gráfica de la función.

3. Observa que la gráfica corta al eje OX en dos puntos que es necesario conocer, ya que las x de esos puntos son las soluciones de la ecuación.

Para averiguar su valor vamos a utilizar las opciones de CALC. Como es un comando en azul hay que pulsar la tecla y luego

Selecciona la opción 2:root (raíz)

Te aparece en pantalla el mensaje Lower Bound? (límite inferior). Desplázate con la flecha de la izquierda hasta que el cursor de la gráfica esté a la izquierda del punto de corte y pulsa ENTER

Cuando aparezca Upper Bound? (límite superior) desplázate con la flecha de la derecha hasta que el cursor esté a la derecha del punto de corte. Pulsa ENTER.

Aparece Guess? (adivinar). Pulsa ENTER

En la parte inferior de la pantalla aparecen los valores X = -1 e Y = 0. La x de este punto es -1.

Repite el proceso para encontrar el otro punto de corte. Corresponde al punto X = 4 e Y = 0. La x de este punto es 4

Las soluciones son x₁ = -1; x₂ = 4

RESUELVE

1) 3x² - 2x - 3 =0 Solución:

2) - x² + 5x - 1= 0 Solución:

3) 3x² - 5x + 2= x² - x + 2 Solución:

4) 2x² - 3x + 6 = 0 Solución:

5) x² - x - 3 = 0 Solución:

6) x³ + 2x² - 6x - 3 = 0 Solución:

7) x⁴ + 3x³ - 4x² -12x = 0 Solución:

Resolver la ecuación x / (1 + Ö x ) = 1/7

PREPARACIÓN DE LA ECUACIÓN

Pasa todos los términos de la ecuación al primer miembro y en el segundo deja un cero. Usa como ecuación el primer miembro que te resulte. En este caso x / (1 + Ö x ) - 1/7

ESCRITURA DE LA ECUACIÓN COMO FUNCIÓN

Pulsa la tecla Y= . Si ves que hay datos en Y1, Y2, etc., bórralos uno a uno con la tecla CLEAR. Señala Y1= con las flechas de cursor y escribe al lado la fórmula de la función, que será x / (1 + Ö x ) - 1/7. Para escribir la x usa la tecla X,T, q

APROXIMACIÓN A LAS SOLUCIONES

Pulsa TABLE para ver la tabla. Los valores cercanos al cero te indicarán la zona en la que puede haber una solución. Con las teclas de flecha sube y baja a través de la tabla hasta ver valores pequeños. Si no se ven bien puedes cambiar los datos de la tabla con TblSet.

Pulsa esa tecla y rellena los datos que se piden:

TblMin: Escribe el primer valor de x que deseas ver en la tabla. Por ejemplo el 0

D Tbl: Escribe el salto entre dos elementos de la tabla. Por ejemplo 1.

Pulsa TABLE. Verás que hay un cambio de signo entre x=0 y x=1. Vuelve a la tecla TblSet y ahora fija TblMin en 0 y D Tbl en 0.1

Vuelve a pulsar TABLE. Ahora el cambio de signo está entre 0.2 y 0.3 .

Sigue insistiendo con las dos teclas TABLE y TblSet. Deberás llegar a la solución x=0.20801

OTRAS ECUACIONES:

1) x² - 4x +2.5 = 0 Dos soluciones:

2) (x+2)(x^3+3) = 1000 Dos soluciones:

3) (x+14)/(x-14) = 22 Una solución:

4) x = 2*SIN(X) En radianes:

(Pide MODE, señala Radian y pulsa ENTER y QUIT)

Busca una solución distinta de cero entre 0 y 2:

2º ejemplo: Resolver la ecuación x⁴ = 200+x

Pasa todos los términos de la ecuación al primer miembro y en el segundo deja un cero. Si hay incógnitas en los denominadorers te convendría quitarlas mediante la operación de quitar denominadores.

Usa como ecuación el primer miembro que te resulte. En este caso X^4 - X - 200

ESCRITURA DE LA ECUACIÓN COMO FUNCIÓN

Pulsa la tecla Y=. Elige con los cursores la función Y1 y en ella escribe la fórmula de la función. Para escribir X puedes usar la tecla X,T,q .

PARÁMETROS DE LA TABLA

Con la tecla TblSet puedes ir concretando las características de la tabla, que son:

TblMin: En este parámetro escribimos el Inicio de la tabla. Escribe, por ejemplo, un 1

D Tbl: Aquí escribiremos el incremento que hay entre dos elementos consecutivos de la tabla. Pon otro 1.

Los otros dos parámetros se deben dejar en Auto

FUNCIONAMIENTO

Pulsa ahora Table y podrás ver la tabla comenzando en 1 y con valores que crecen de 1 en 1

Observarás que hay cambio de signo entre el 3 y el 4. Esto indica la proximidad de una solución.

Ahora basta ir usando los cambios de parámetros adecuados con la tecla TblSet hasta que se produzca alguna de estas circunstancias:

1. A un lado de un número sólo hay valores positivos y al otro lado negativos
2. Todos los valores son del mismo signo pero muy cercanos al cero

En ambos casos estaremos muy cerca de la verdadera solución de la ecuación.

Por ejemplo, con TabSet concreta como TabMin el número 3 (Por donde hay cambios de signo) y como incremento D Tbl el valor 0.1, para que crezca de décima en décima. Pulsa Table y observarás que hay cambios de signo entre 3.7 y 3.8. Si sigues avanzando verás cambios en las centésimas entre 3.77 y 3.78, por lo que podemos dar el valor aproximado de 3.77 para la solución de la ecuación.

Sal de la tabla con la tecla QUIT y escribe ahora 3.77^4 y te dará 202 aproximadamente, que está muy próximo a 200+X que sería 203.77, luego es una buena solución de la ecuación. Si hubieras seguido investigando llegarías a X=3.77823 que es una aproximación mucho mejor.

BÚSQUEDA DE OTRAS SOLUCIONES

Concreta un Inicio TabMin de -40 y un incremento D Tbl de 1 . Pulsa Table y con las flechas avanza y retrocede hasta observar cambios de signo o valores muy peuqeños. En esa zona puede haber otra solución de la ecuación. En este caso encontrarás la zona entre -4 y -3 que contiene otra solución. Búscala.

Resolver la ecuación 2x + Ö x = 100

PREPARACIÓN DE LA ECUACIÓN

Pasa todos los términos de la ecuación al primer miembro y en el segundo deja un cero. Si hay incógnitas en los denominadores quita denominadores. Usa como ecuación el primer miembro que te resulte. En este caso 2x + Ö x - 100

ESCRITURA DE LA ECUACIÓN COMO FUNCIÓN

Pulsa la tecla Y= . Si ves que hay datos en Y1, Y2, etc., bórralos uno a uno con la tecla CLEAR. Señala Y1= con las flechas de cursor y escribe al lado la fórmula de la función, que será 2x + Ö x - 100. Para escribir la x usa la tecla X,T, q

APROXIMACIÓN A LAS SOLUCIONES

Pulsa GRAPH para ver la gráfica. Los puntos en los que toque al eje X serán las soluciones de la ecuación. Si no los ves bien puedes ampliar la ventana con la tecla WINDOW. Con ella puedes concretar los valores máximos y mínimos de la X y de la Y, con las variables Xmin, Xmax, Ymin e Ymax. Es conveniente darles valores amplios, como -100 y 100 para la X y

-100 y 100 para la Y.

Puedes usar igualmente la tecla ZOOM y en el menú elegir 6:ZoomStandard para comenzar y después 2:Zoom in (y ENTER) si lo que quieres es que la ventana sea más pequeña o bien 3:Zoom out (y ENTER) si la quieres aumentar. Vuelve a pedir GRAPH para volver a ver la gráfica.

Verás que hay un punto en el que la gráfica corta al eje X cerca del 46 . Con la tecla TRACE y el zoom in puedes ir moviendo el cursor hasta aproximar a unos 46.5

MEJORA DE LA APROXIMACIÓN

Para mejorar la aproximación a la solución debes acudir a la tecla CALC. Púlsala y verás en ella muchas opciones. Elige 2:root, pues lo que quieres encontrar es una raíz de la ecuación. Aparecerá de nuevo la gráfica y se harán tres preguntas:

a) Lower Bound? : Hay que darle una cota inferior a la raíz. Simplemente, con las flechas izquierda y derecha mueve el punto de la gráfica a la izquierda de la solución y más bien cerca. Pulsa ENTER.

b) Upper Bound? : Mueve el punto a la derecha de la solución y da a ENTER.

c) Guess? : Lleva el punto lo más cerca posible de la solución y pulsa ENTER.

Deberá darte como valor aproximado el de x= 46.587257 que es muy buena aproximación.

SOLUCIONES MÚLTIPLES

Las ecuaciones de tercer o cuarto grado pueden tener varias soluciones. En ese caso busca una ventana amplia, de -100 a 100, por ejemplo, para verlas todas, y después vas acercando la imagen a cada una con zoom in. Por ejemplo, resuelve la ecuación

x³ - 6x² + 11x - 6 = 0

y encontrarás tres soluciones muy sencillas ¿Cuáles? _________________________________

EJEMPLOS

Para cada ecuación debes dibujar la gráfica desde una ventana amplia y encontrar sus soluciones:

(x² - 6)² = 128 Dibujo global Soluciones

x³ + 6 = x² +100 Dibujo global Soluciones

(x² - 6)² = 128 Dibujo global Soluciones

___________

Ö x + 80 = x - 2 Dibujo global Soluciones

x² + 12/x = 25 Dibujo global Soluciones

(x - 2)(x - 3)(x - 4) = 0 Dibujo global Soluciones

x² + 10

----------- = 5 Dibujo global Soluciones

x² + 1

x+2

----- < 2x - 20

3

PREPARACIÓN DE LA INECUACIÓN

Pasa todos los términos de la inecuación al primer miembro y en el segundo deja un cero. Usa como fórmula el primer miembro que te resulte: (x+2)/3-2x+20

ESCRITURA DE LA INECUACIÓN COMO FUNCIÓN

Pulsa la tecla Y=. Si ves que hay una fórmula en Y1, bórrala con la tecla CLEAR. Señala Y1= y escribe al lado la fórmula (x+2)/3-2x+20

SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN ASOCIADA

Pulsa GRAPH y usa las opciones de ZOOM hasta que veas el corte de la gráfica con el eje X.

Como es una inecuación de primer grado, resultará una recta. Halla el corte con la secuencia

CALC 2:root y las preguntas Lower Bound? Upper Bound? Guess? y te dará como solución x=12.4.

En este punto se cumple la igualdad: (x+2)/3-2x+20 = 0, pero nosotros queremos que se cumpla

(x+2)/3-2x+20 < 0, es decir, que el resultado sea menor que cero. Eso significa que la recta se encuentre debajo del eje X, en la zona de los negativos, luego la solución estará formada por todos los puntos que hay entre 12.4 y el infinito, es decir, el intervalo: (12.4, +¥ ) y esta es la solución de la inecuación.

OTRO EJEMPLO:

Resolver la inecuación: x/3 - (2-x) > 3

Dibujamos la gráfica de F= x/3-(2-x)-3, con lo que obtenemos una recta que corta a los ejes en el punto: ____________ (Escríbelo tú)

Observamos en qué valores de x la gráfica está más arriba que el eje X y vemos que la solución es el intervalo: _________________

MEJORA DE LA IMAGEN

Hay un método para que se vea mejor qué región del plano contiene las soluciones. Hay que usar la tecla DRAW. Tienes que seguir esta secuencia:

• Teclas 2nd PRGM ( que es DRAW)
• Elegir 7:Shade(
• Escribir detrás la parte de la inecuación que debe ser más pequeña. En este caso 0
• Luego una coma, y detrás la parte que debe ser la mayor: x/3-(2-x)-3
• Finalmente cerrar paréntesis y dar a ENTER.

Debe quedar Shade (0,x/3-(2-x)-3) (y ENTER)

¿Qué ocurre en la gráfica? ¿Es útil para ver las soluciones? Explícalo:__________________________________________________________________________________________________________________________________________________

SISTEMAS DE INECUACIONES

Si quieres resolver un sistema bastará con que dibujes dos gráficas, y te quedes con los valores de X que sirven para las dos. Por ejemplo, resolver el sistema:

x+3<2.5x

x-4>x/2

Pasamos ambas al primer miembro y escribimos la fórmula x+3-2.5x en la función Y1 y x-4-x/2 en la Y2. Pulsa GRAPH para ver las dos rectas. Halla los cortes con CALC 2:root. Como hay dos rectas, tendrás que calcularlo dos veces y con los cursores é ê elegir cada vez la recta 1 o la 2. Te debe dar x=2 como corte de la primera y x=8 como corte de la segunda. Luego los puntos frontera son 2 y 8

La solución del sistema será el conjunto de valores de x en los que Y1 queda debajo del eje X (por tener signo < ) y que simultáneamente la Y2 queda sobre el eje X ( signo >) Esos valores van desde 8 hasta infinito, luego la solución es el intervalo (8 , +¥ ).

OTRAS INECUACIONES

x - 3

--------- + x < 100 Solución:

2

x - (3x-10) £ 9 Solución:

(4-3x)/2 ³ 2x Solución:

7x/5 < 120+x Solución:

45+x £ 20 - x Solución:

OTROS SISTEMAS:

4x+3 < 2

5x+5/7>x

x/7 - 3 ³ 21

x - (8x-2) £ 2

Recuerda que para resolver una inecuación de 2º grado es necesario presentarla previamente en forma reducida:

ax² + bx + c < 0 ó ax² + bx + c > 0

es decir, con todos los términos no nulos en el primer miembro.

Ejemplo

Resolver la inecuación: 2x² - 3x + 3 < x² + 7

1. Forma reducida: x² - 3x - 4 < 0
2. La inecuación tendrá una parábola asociada que es: y = x² - 3x - 4
3. Resolver la inecuación equivale a averiguar en qué intervalo del eje OX la parábola está por debajo del eje OX.

RESOLUCIÓN CON LA CALCULADORA

1. Escribe la función asociada.

Pulsa la tecla Si hay una fórmula en Y₁, bórrala con CLEAR. Coloca el cursor en Y₁ y teclea la función:

- 3 - 4

2. Pulsa y te aparecerá la gráfica de la función.

3. Observa que la gráfica corta al eje OX en dos puntos que es necesario conocer, ya que en el intervalo comprendido entre esos dos puntos del eje OX la parábola está por debajo del eje. Es decir, se verifica la inecuación.

Para averiguar su valor vamos a utilizar las opciones de CALC. Como es un comando en azul hay que pulsar la tecla y luego

Selecciona la opción 2:root (raíz)

Te aparece en pantalla el mensaje Lower Bound? (límite inferior). Desplázate con la flecha de la izquierda hasta que el cursor de la gráfica esté a la izquierda del punto de corte y pulsa ENTER

Cuando aparezca Upper Bound? (límite superior) desplázate con la flecha de la derecha hasta que el cursor esté a la derecha del punto de corte. Pulsa ENTER.

Aparece Guess? (adivinar). Pulsa ENTER

En la parte inferior de la pantalla aparecen los valores X = -1 e Y = 0. La x de este punto es -1.

Repite el proceso para encontrar el otro punto de corte. Corresponde al punto X = 4 e Y = 0.

Es decir, en el intervalo (-1, 4) del eje OX la parábola está por debajo del eje.

Ese intervalo es la solución de la inecuación. Solución (-1, 4 )

RESUELVE

(Recuerda: ax² + bx + c < 0 curva debajo del eje OX; ax² + bx + c > 0 curva por encima del eje OX)

1) 3x² - 2x - 3 <0 Solución:

2) - x² + 5x - 1> 0 Solución:

3) 3x² - 5x + 2 > x² - x + 2 Solución:

4) 2x² - 3x + 6 > 0 Solución:

5) x² - x - 3 < 0 Solución:

6) x³ + 2x² - 6x - 3 > 0 Solución:

Resolver el sistema x + 2y = 32

x - y = 15

PREPARACIÓN DEL SISTEMA

Despeja la variable y en cada una de las ecuaciones y a una de ellas le llamas Y1 y a la otra Y2. Así:

Y1 = (32-x)/2 Y2 = x - 15

ESCRITURA DEL SISTEMA COMO DOS FUNCIONES

Pulsa la tecla Y= . Si ves que hay datos en Y1, Y2, etc., bórralos uno a uno con la tecla CLEAR. Señala Y1= con las flechas de cursor y escribe al lado la fórmula de la primera función, que será (34-x)/2. Haz lo mismo con Y2 y la fórmula x - 15.

Pulsa la tecla ZOOM y elige la opción 6:zoom standard . Después con la tecla GRAPH se dibujarán dos líneas rectas y en el punto de corte entre ellas estará la solución.

En este ejemplo el corte está aproximadamente en el punto x=20 y= 5.7 . Esto se puede ver con la tecla TRACE, que permite mover un punto con los cursores × Ø hasta llegar al corte.

Si no ves bien el corte puede ser porque las gráficas se ven a través de una ventana y quizás no sea la adecuada. Para cambiar el enfoque puedes hacer lo siguiente:

Pide ZOOM y en el menú elige 2:zoom in, usa los cursores para mover el punto cerca del corte y pulsa ENTER, si lo que quieres es que la ventana sea más pequeña, o bien 3:zoom out (y ENTER) si la quieres aumentar. También puedes pedir 1:zoom box y señalar un poco arriba y a la izquierda del punto (y ENTER) y después abajo a la derecha hasta enfocar con un rectángulo. Después das a ENTER y GRAPH.

Si sigues sin verlas bien, con la tecla WINDOW puedes concretar los valores máximos y mínimos de la X y de la Y, con las variables Xmin, Xmax, Ymin e Ymax. Es conveniente darles valores amplios, como entre -20 y 20 para la X y -20 y 20 para la Y.

Para ver los cortes con más aproximación usa de nuevo la tecla TRACE para mover el cursor y el 2:zoom in o 1:zoom box para acercar la visión del corte.

MEJORA DE LA APROXIMACIÓN

Para mejorar la aproximación a la solución debes acudir a la tecla CALC. Púlsala y verás en ella muchas opciones. Elige 5:intersect para ver dónde está el corte entre las dos gráficas. Deberás responder a tres preguntas:

First curve? Si ves un 1 en la parte superior derecha pulsa ENTER directamente. Si no, usa los cursores Ù Ú hasta que lo veas y das a ENTER.

Second curve? Haz lo mismo, pero buscando un 2

Guess? Acerca el punto de pantalla al corte y pulsa ENTER.

Te deberá dar como solución x=20.666... y=5.666....

OTROS SISTEMAS

Despeja y en cada ecuación , escribes el resultado en Y1 y en Y2, pides GRAPH y eliges al principio 6:zoom standard para ver las dos gráficas con amplitud. Luego enfocas en cada corte con 2:zoom in o con 1:zoom box. Finalmente pides CALC 5:intersect

3x+2y=23 SOLUCIONES x+y/2=10 SOLUCIONES

2x-5y=32 x+y=40

y=3x+4 SOLUCIONES x/3 - y/2 =30 SOLUCIONES

3x=y-10 y + x = 100

x/2+y/3=1 SOLUCIONES 2x+ 2y=48 SOLUCIONES

6x+4y=10 y + x = 24

INVENTA TÚ ALGÚN SISTEMA MÁS.

Procura inventar alguno sin solución o con infinitas soluciones.

Resolver el sistema x + 2y = 34

x² - y² = 20

PREPARACIÓN DEL SISTEMA

Despeja la variable y en cada una de las ecuaciones y a una de ellas le llamas Y1 y a la otra Y2. Así:

Y1 = (34-x)/2 Y2 = Ö (x²-20)

ESCRITURA DEL SISTEMA COMO DOS FUNCIONES

Pulsa la tecla Y= . Si ves que hay datos en Y1, Y2, etc., bórralos uno a uno con la tecla CLEAR. Señala Y1= con las flechas de cursor y escribe al lado la fórmula de la primera función, que será (34-x)/2. Haz lo mismo con Y2 y la fórmula Ö (x²-20)

Para ver las gráficas pulsa en primer lugar la tecla ZOOM y en ella elige 6:zoom standard. Luego, con la tecla GRAPH se dibujarán las dos gráfica y en los puntos de corte entre ellas estarán las soluciones. En el ejemplo los cortes serían x=-35 y=34 y x=11 y=10,5 aproximadamente. Estos valores se obtienen con la tecla TRACE y los cursores × Ø

Si no los ves bien puede ser porque la gráfica se vea a través de una ventana que no sea la apropiada, o por ser demasiado pequeña o por no enfocar a las soluciones. Pide ZOOM y en el menú elige 2:zoom in (y ENTER) si lo que quieres es que la ventana sea más pequeña o bien 3:zoom out (y ENTER) si la quieres aumentar. También puedes pedir 6:zoom standard para comenzar. Vuelve a pedir GRAPH.

Si de todas formas no lo ves bien, con la tecla WINDOW puedes concretar los valores máximos y mínimos de la X y de la Y, con las variables Xmin, Xmax, Ymin e Ymax. Es conveniente darles valores amplios al principio, como entre -20 y 20 para la X y -20 y 20 para la Y.

Para ver los cortes con más aproximación usa la tecla TRACE , mueve los cursores y usa el 2.zoom in para acercar la visión del corte. También puedes usar 1:zoom box. Con este comando obtienes una pequeña ventana para enfocar. Lleva el cursor un poco más arriba y a la izquierda del punto y da a ENTER y después abajo a la derecha y de nuevo ENTER.

MEJORA DE LA APROXIMACIÓN

Para mejorar la aproximación a la solución debes acudir a la tecla CALC. Púlsala y verás en ella muchas opciones. Elige 5:intersect para ver dónde está el corte entre las dos gráficas. Deberás responder a tres preguntas:

First curve? Si en la parte superior derecha de la pantalla figura un 1, pulsa ENTER y en caso contrario usa los cursores Ù y Ú hasta llegar al 1 y da a ENTER.

Second curve? Si no hay un 2 en pantalla, usas Ù y Ú hasta señalar un 2 y pulsas ENTER.

Guess? Acerca el punto de pantalla al corte y pulsa ENTER.

Según al punto que te hayas acercado te dará como solución x=11,91 y=11,04 o bien x=-34,58 y=34,29. Hay dos pares de soluciones.

OTROS SISTEMAS

Despeja y en cada ecuación , escribe el resultado en Y1 y en Y2, pide GRAPH y elige al principio 6:zoom standard para ver las dos gráficas con amplitud. Luego enfoca en cada corte con 2:zoom in o con 1:zoom box. Finalmente pides CALC 5:intersect

3x+2y=23 SOLUCIONES xy=100 SOLUCIONES

2x-5y=32 x+y=40

y=x²+4 SOLUCIONES y + log(x) =30 SOLUCIONES

x=y-10 y + x = 100

x/2+y/3=1 SOLUCIONES x²+ y²=49 SOLUCIONES

x²+4y=10 y-x=2

INVENTA TÚ ALGÚN SISTEMA MÁS

Abre un libro cualquiera. Elige una página que tenga bastante texto. Señala al azar una línea. Cuenta las letras de cada palabra a partir de esa línea. Cambia de página y de línea de cuando en cuando. Toma nota en la tabla de abajo, con "palotes": / // /// //// ////

Procede igual hasta rellenar la tabla con 200 datos como mínimo.

NOTA: Si una palabra tiene más de 15 letras no la tengas en cuenta

Los datos que hemos estudiado se llaman cuantitativos, porque se representan con números. Recuerda la tabla que hemos estudiado, que la usaremos de nuevo. Rellena aquí las frecuencias:

PREPARACIÓN DE LA TABLA

En primer lugar, hay que comunicar a la calculadora qué tipo de datos se manejarán. Para ello pulsa STAT y elige la opción CALC y después 3:Setup. La pantalla estará dividida en dos partes. La superior, que corresponde a 1-Var Stat, son estadísticas de una sola variable. Concreta que xlist será la lista L1. (Señala y pulsa ENTER) y Frec la L2.

ESCRITURA DE LOS DATOS

Pulsa de nuevo STAT, pero ahora elige EDIT y escribe cada valor de x en la lista L1 y de la frecuencia en la lista L2. Si alguna de ellas tiene datos, deberás borrarlos. Para ello pide de nuevo STAT y después 4:ClrList. Aparecerá en pantalla la palabra ClrList y detrás de ella deberás escribir las listas que se han de borrar separadas por comas. Su nombre se consigue con la tecla 2nd seguida de su número 1,2,3... Deberá quedar así:

ClrList L1,L2

Termina con ENTER y la calculadora responderá Done. Después podrás escribir los datos 1,2,3... en L1 y sus frecuencias en L2.

CÁLCULOS

Con STAT y después CALC accedes a los cálculos. Elige 1:1-Var stats y podrás leer los sumatorios, la media, etc. Por ejemplo, comprueba que la media es la misma que has hallado el día anterior. Si no es así, repasa todo. No estará la moda, y la mediana se lee en la variable Med. ¿Es igual o parecida a la que has hallado?.

Lee una cantidad nueva, que comenzará con el símbolo s x . Esta cantidad es la desviación típica. Si los datos están muy agrupados, esa cantidad será pequeña, y si están dispersos, será grande. Compara con otro equipo el valor de la desviación típica y el gráfico de barras que tenéis dibujado. La más pequeña corresponderá al gráfico que tenga los datos más cercanos al centro del gráfico.

GRÁFICO

Hay que concretar en primer lugar el tipo de gráfico. Con la tecla Stat Plot se escriben sus características. Elige, por ejemplo, el primer gráfico 1:Plot1 y con los cursores busca:

1) ON OFF : Señala ON y confirma con ENTER.

2) Type: Señala el gráfico de barras pulsa ENTER.

2) xlist : Señala L1, que es la lista que contiene la x.

3) ylist: Señala la L2, que es la de las frecuencias.

Como medida de precaución, con la tecla Y= debes ver si hay alguna función. Si hay alguna fórmula, bórrala con CLEAR. Por último, pide ZOOM y 9:ZoomStat, para que la ventana de pantalla se adapte a los datos que tenemos. Si no lo consigues, usa la tecla WINDOW.

Si todo ha ido bien, al pedir GRAPH deberás obtener el gráfico que hayas pedido. ¿Se parece al que dibujaste manualmente?

Si te sobra tiempo repite todo para ver un gráfico de cajas y le preguntas al profesor su significado.

EJERCICIO: Pasa a tus compañeros una encuesta anónima en la que te digan cuántas horas semanales emplean en el estudio. Con la calculadora TI-82 calcula la media y la desviación típica y un gráfico. Escribe los resultados y coméntalos.

ENTRADA DE DATOS

Imagina que queremos estudiar esta tabla:

Pulsa ON para iniciar el trabajo. Pide STAT y luego 1:Edit Verás en pantalla un tabla con tres columnas L1 L2 y L3

Si alguna de ellas contiene datos deberás borrarlos. Para ello pide de nuevo STAT y después 4:ClrList. Aparecerá en pantalla la palabra ClrList y detrás de ella separados por comas debes escribir los nombres de las listas que quieres borrar. Esos nombres se consiguen con 2nd y las teclas 1,2,3... y quedará algo así:

ClrList L1 , L2

Termina con ENTER y la calculadora responderá Done.

Pulsa STAT y luego 1:Edit para volver a ver la tabla. Ahora estará vacía.

Escribe los ocho valores de x en L1 y los de y en L2. (Pulsa ENTER detrás de cada uno)

Asegúrate de que están bien escritos todos los valores. Si te equivocas en alguno puedes mover el cursor hasta el dato equivocado y corregirlo. Con la tecla DEL puedes borrar un dato.

NUBE DE PUNTOS

Pulsa STAT PLOT , que es la combinación de 2nd y Y=

Elige, por ejemplo, 1:Plot 1, que es el primer gráfico. Deben figurar la lista L1 en la línea xlist y L2 en la línea ylist. El gráfico debe estar en ON. Además, en type debes elegir la nube de puntos que se distingue por un dibujo con los puntos aislados.

Pulsa GRAPH para ver la nube.

La calculadora ajusta la pantalla a los datos y se verá perfectamente la nube.

Si no es así, pulsa zoom y elige la opción 9, que corresponde al zoom estadístico.

Si se ven otros gráficos deberás volver a la opción STAT PLOT ponerlos en OFF.

CÁLCULOS

Para calcular pulsa STAT y elige CALC en la pantalla

Pide 2:2-Var Stats y luego ENTER y verás en pantalla muchos cálculos. Sube y baja la pantalla y observa si aparecen estos resultados: Sx=40 Sx²=252 Sy=68 Sy²=792 Sxy=440

Media de x : 5 Media de y: 8,5 Desv. Típica de x : sx=2,5495 Desv. Típica de y : sy=5,1720

Si alguno da un resultado distinto deberás repasar las operaciones que has realizado.

RECTA DE REGRESIÓN

Con los cálculos anteriores ya tienes resuelta la parte más pesada. Si quieres obtener la recta de regresión de forma automática debes hacer lo siguiente:

Pide STAT , después señala CALC y busca la opción 5:LinReg(ax+b). Elígela. Podrás leer la solución:

a=1.923 b=-1.115 r=0.94796

Significa que la recta de regresión tiene como fórmula

y = 1.923 x - 1.115

y que la correlación es muy buena, porque el coeficiente r está muy cercano al 1.

GRÁFICA DE LA RECTA DE REGRESIÓN

Si deseas ver la gráfica de la recta de la forma más exacta posible puedes seguir estos pasos:

Pulsa Y= (Está arriba a la izquierda)

Si y1= tiene algún dato detrás, pulsa CLEAR para borrarlo.

Pulsa VARS y luego 5:Statistics. Señala EQ y por último 7:RegEQ. Si todo va bien, se volcará la fórmula ax+b junto a y1=.

Acude ahora a la tecla GRAPH para que se dibuje la recta de regresión sobre la nube de puntos.

PARA HACER PREDICCIONES

Si deseas estimar la imagen de una X que no está en la tabla (o aunque esté) mediante la fórmula ax+b debes seguir esta secuencia: Pide CALC (arriba en azul) Y luego elige 1:value. La calculadora te pide X= .Le puedes dar, por ejemplo X=20 y te responderá con el valor estimado de la Y=37.346. El valor que des debe estar dentro de la ventana de la gráfica. Si ves que no te da respuesta puedes cambiar los límites xmin xmax de la ventana con la tecla WINDOW.

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