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ALGUNOS RESULTADOS GEOMÉTRICOS CLÁSICOS
6. RECTA DE SIMSON
Se consideran un triángulo y su circunferencia
circunscrita. Los tres puntos obtenidos al proyectar un punto P
cualquiera de la circunferencia sobre las rectas que contienen a
los lados están alineados. La recta que los contiene se conoce
como recta de Simson.
El siguiente applet permite observar como varía la recta de
Simson al modificar el punto P que se encuentra sobre su
circunferencia circunscrita al triángulo ABC.
DEMOSTRACIÓN:
Consideremos el triángulo ABC y un punto P sobre su
circunferencia circunscrita. Los puntos P1 y P2 son las
proyecciones de P sobre las rectas que contienen a AB y a CB
respectivamente. Desde P2 y desde P1 se ve el segmento PB bajo un
ángulo de 90º por lo que los cuatro puntos P1,P2, P y B están
sobre una misma circunferencia. Como los ángulos
<P1P2B y <P1PB abarcan el mismo arco de circunferencia se
deduce que ambos ángulos son iguales (ver figura1).
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figura1 |
figura2 |
De la misma forma, si ahora nos fijamos en las proyecciones P2
y P3 de P sobre las rectas que contienen a los lados BC y AC del
triángulo, es fácil convencerse de que P2, C, P3 y P están
sobre la misma circunferencia de diámetro CP (los ángulos con
los que se ve el segmento CP desde P2 y P3 son rectos). Igual que
en el caso anterior, los ángulos <CP2P3 y <CPP3 son
iguales por abarcar el mismo arco de circunferencia.
Por último vamos a demostrar que los ángulos <P1P2B y
<CP2P3 son iguales por lo que los puntos P1, P2 y P3 están
alineados, siendo los ángulos anteriores opuestos por el
vértice al cortarse la recta de Simson (la que contiene a P1, P2
y P3) y el lado CB.
Para demostrar la igualdad de esos dos ángulos basta demostrar
la de sus equivalentes <P1PB y <CPP3.
figura3
El ángulo <P3PP1 es suplementario de <CAB, ya que el cuadrilátero es inscriptible en una circunferencia, y, por la misma razón, el ángulo <CPB también es suplementario de <CAB. Restando a ambos ángulos el ángulo <CPP1 se obtiene el resultado deseado.
PROPIEDAD CURIOSA:
La envolvente de las rectas de Simson de un determinado
triángulo es una curva deltoide.
El siguiente applet es igual que el anterior, pero al mover el
punto P las rectas de Simson van dejando rastro, de forma que se
puede ver la forma de la envolvente:
BIBLIOGRAFÍA:
Puig Adam: "Geometría Métrica"
0. ÍNDICE GENERAL (PÁG. PRINCIPAL DEL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS)
1.
CIRCUNFERENCIA DE LOS NUEVE PUNTOS
2.
PUNTO DE FERMAT
3.
TRIÁNGULO ÓRTICO
4.
TRIÁNGULO DE MORLEY
5.
TEOREMA DE CEVA
6. RECTA DE SIMSON
7.RECTA
DE EULER
8.
TRIÁNGULOS DE NAPOLEÓN
9.TEOREMA
DE LAs BISECTRICES
10.
CIRCUNFERENCIA DE APOLONIO
11-12.
HIPOCICLOIDES Y EPICICLOIDES
13.CUADRATURA
DE UN RECTÁNGULO
14.TRIÁNGULO
DE PASCAL Y TRIÁNGULO DE SIERPINSKI
15.TEOREMA
DE BOLZANO
16.
ESPIRAL DE TEODORO
17.
ELIPSE CON APPLET'S
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Santillana" Colmenar Viejo, Madrid)