ALGUNOS RESULTADOS GEOMÉTRICOS CLÁSICOS
13. CUADRATURA DE UN RECTÁNGULO
Se trata de un problema clásico y
de fácil solución: dado un rectángulo, constrúyase un
cuadrado del mismo área.
La construcción (utilizando regla y compás al estilo griego
clásico: regla para dibujar rectas y compás para trazar arcos o
circunferencias, pero no para trasladar medidas) es sencilla.
El siguienten applet muestra la construcción a partir de un
rectángulo AOBC cuyas medidas se pueden cambiar con los
controles de la parte inferior del applet. Con centro en O se
dibuja el arco desde B hasta cortar a la recta AO en D. A
continuación se traza una circunferencia con centro M, punto
medio de AO, y radio MA. Desde O se eleva la perpendicular a la
recta AO hasta obtener el punto P intersección de la
perpendicular con la circunferencia. El cuadrado de lado OP (de
color verde) tiene el mismo área que el rectángulo AOBC.
Demostración:
Para alumnos de Instituto se puede razonar considerando el
triángulo rectángulo APD, y utilizando el teorema de la altura
para triángulos rectángulos.
Siguiendo un razonamiento basado en los Elementos de Euclides, observamos: AO*OD = PO*OG (Libro III, proposición 35). Por Euclides III.3, PO = OG, y por construcción: OD = OB. De lo anterior deducimos: AO*OB = PO2.
CUADRATURA DE UN
RECTÁNGULO
Bibliografía:
0. ÍNDICE GENERAL (PÁG. PRINCIPAL DEL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS)
1.
CIRCUNFERENCIA DE LOS NUEVE PUNTOS
2.
PUNTO DE FERMAT
3.
TRIÁNGULO ÓRTICO
4.
TRIÁNGULO DE MORLEY
5.
TEOREMA DE CEVA
6.
RECTA DE SIMSON
7.RECTA
DE EULER
8.
TRIÁNGULOS DE NAPOLEÓN
9.TEOREMA
DE LAs BISECTRICES
10.
CIRCUNFERENCIA DE APOLONIO
11-12.
HIPOCICLOIDES Y EPICICLOIDES
13.CUADRATURA DE UN RECTÁNGULO
14.TRIÁNGULO
DE PASCAL Y TRIÁNGULO DE SIERPINSKI
15.TEOREMA
DE BOLZANO
16.
ESPIRAL DE TEODORO
17.
ELIPSE CON APPLET'S
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(Departamento de Matemáticas I.E.S. "Marqués de
Santillana" Colmenar Viejo, Madrid)