teorema de Bolzano

TEOREMA DE BOLZANO Y MÉTODO DE LA BISECCIÓN PARA LOCALIZAR LAS RAICES DE UNA FUNCIÓN

1. ENUNCIADO DEL TEOREMA

Si f(x) es una función continua en el intervalo [a, b], y si, además, en los extremos del intervalo la función f(x) toma valores de signo opuesto (f(a) * f(b) < 0), entonces existe al menos un valor c Î (a, b) para el que se cumple: f(c) = 0.

Es decir: si una función es continua en un intervalo cerrado y acotado [a, b], y los valores en los extremos del intervalo tienen signos distintos, entonces podemos asegurar la existencia de al menos una raiz de la función en el intervalo abierto (a, b).

Ejemplo1: La función que aparece representada a continuación es continua en el intervalo [3, 6.2] y f(3) < 0 mientras que f(6.2) >0. Como se cumplen las hipótesis del teorema de Bolzano queda garantizada la existencia de al menos un valor c en el que f(c) = 0, es decir en el que la gráfica corta al eje de abcisas. En este ejemplo concreto existen exactamente tres valores (c1, c2 y c3) que cumplen la tesis del teorema. (A los valores c1, c2 y c3 se les llama raices o ceros de la función f(x) en el intervalo en cuestión). (La función representada es: f(x) = sen(2x) - 2cos(x/3))

2. MÉTODO DE LA BISECCIÓN

El teorema de Bolzano tiene una interesante aplicación en la localización de las raices o ceros de una funcion continua. Consiste en lo siguiente: buscamos por tanteo dos valores "a" y "b" para los que la función tome signos opuestos. Si conseguimos encontrar dos valores que cumplan la condición anterior, por ejemplo f(a) < 0 y f(b) > 0, y, además, la función es continua en I = [a, b], queda garantizada por el teorema de Bolzano la existencia en el intervalo (a, b) de al menos una raiz. Si ahora tomamos el punto medio del intervalo (x = (a + b)/2) la función en ese punto puede tomar el valor 0, en cuyo caso ya tendríamos localizada una raiz, o bien en (a + b)/2 toma un valor positivo o negativo. Si f((a + b)/2) < 0, nos fijaríamos ahora en el intervalo
I₁ =[(a + b)/2, b] en el que la función es continua y en cuyos extremos toma valores de signos opuestos. El teorema de Bolzano garantiza así la existencia de al menos una raiz en ese intervalo I₁ de longitud la mitad de la longitud del intervalo inicial. (Si f((a + b)/2)>0 I₁=[a, (a +b)/2]. Se repite el mismo proceso con el intervalo I₁, con lo que vamos obteniendo intervalos cada vez más pequeños, dentro de los cuales sabemos que existe una raiz. Podemos así hallar el valor de esa raiz con la aproximación deseada.

El applet que aparece a continuación permite elegir entre dos funciones continuas y comenzar con el intervalo de partida que deseemos (para visualizar el applet necesitas un navegador moderno: al menos Netscape 4.5 o Explorer 5.0). Pulsando el botón "Continuar" el applet aplica el procedimiento de la bisección y muestra el siguiente intervalo dentro del cual se encuentra una raíz. Hay que tener cuidado y elegir un intervalo inicial en cuyos extremos la función tome valores de signos opuestos.

3. MÉTODO DE LA BISECCIÓN CON DERIVE

Vamos a mostrar aquí una forma de hallar las raices de una función con "Derive" utilizando el procedimiento descrito en la sección anterior. El procedimiento se conoce con el nombre de "bisección". El código de un programa que permite hallar las raices pertenecientes a un intervalo en cuyos extremos la función f(x) toma valores de signos opuestos y en el que la función es continua es el siguiente:
# 1. F(x) :=
# 2. [a, (a + b)/2, b, f(a), f((a + b)/2), f(b)]
# 3. nuevo_a := IF(v₄ ·v₅ > 0, v₂ , v₁ )
# 4. nuevo_b:= IF(v₅.v₆ >0, v₂, v₃)
# 5. [nuevo_a, (nuevo_a + nuevo_b)/2, nuevo_b, f(nuevo_a), f((nuevo_a + nuevo_b)/2), f(nuevo_b)]
#6. bolzano(a, b, k):= Iterates(#5, v, #2, k)
Introducidas las seis sentencias anteriores, basta explicar al programa quién es f(x), por ejemplo: #7. f(x) := 3x²- 0.5, y, a continuación, indicarle a "Derive" cuántas veces deseamos aplicar el procedimiento de bisección a partir de un intervalo inicial, por ejemplo: [0, 3]. Tendríamos así: #8. bolzano(0, 3 , 10). Ahora pediríamos a "Derive" que calcule en modo exacto o aproximado, y obtendríamos un vector de 10 componentes. En cada una de las 10 componentes aparece un vector cuyas componentes primera y tercera indican las coordenadas de los extremos del intervalo en el que estamos encajando la solución buscada. En el ejemplo anterior el último vector obtenido (el décimo) es:
[0.407226, 0.408691, 0.410156, -0.00249956, 0.00108601, 0.00468448]
Esto significa que la raiz buscada está situada en el intervalo determinado por: 0.407226 y 0.410156.
Podemos continuar el proceso aplicando la función "bolzano" al intervalo anterior:
#10. bolzano(0.407226 , 0.410156, 5)
Así obtendríamos el intervalo (0.408233, 0.408324), obteniendo como valor aproximado de la raiz: 0.408. Aumentando la precisión de cálculo de "Derive" y el número de iteraciones se puede mejorar la aproximación.

2. JUSTIFICACIÓN INTUITIVA

En cierta ocasión un alumno del último curso de Bachillerato me dijo que el teorema de Bolzano admitía el siguiente enunciado equivalente y más intuitivo: "Para cruzar un río hay que mojarse el culo". Disculpe el lector, pero prometí al alumno publicar su enunciado alternativo y, como todo el mundo sabe, lo prometido es deuda.

3. DEMOSTRACIÓN

Conocimientos previos necesarios para entender la demostración:
1. La demostración que expondremos aquí hace uso de la "conservación del signo de las funciones continuas" (Si una función es continua en x = c y f(c) 0 entonces existe un intervalo (c - , c + ) en el que la función tiene el mismo signo que f(c)).
2. Se utilizan también los conceptos de cota superior de un conjunto y de extremo superior de un conjunto.
3. También se utiliza el "axioma del supremo" de los números reales: Todo subconjunto no vacío de los números reales que está acotado superiormente, posee extremo superior.

Demostración:
Supongamos que f(a) < 0 y f(b) > 0. Sea T el conjunto formado por todos los valores "x" del intervalo [a, b] para los que f(x) < 0. El conjunto T está acotado superiormente por "b" y, además, no es vacío ya que "a" pertenece a T. Por ello el conjunto T tiene un extremo superior c. Se cumple que f(c) = 0. Veamoslo:
Si f(c) > 0, entonces por la propiedad de la "conservación del signo de las funciones continuas" existiría un intervalo (c - , c + ) en el que la función sería también positiva. En este caso existirían valores menores que "c" que servirían de cota superior de T y por ello "c" no sería el extremo superior de T como hemos supuesto.
Si f(c) < 0, entonces existiría un intervalo (c - , c + ) en el que la función sería negativa y por tanto existirían valores de "x" a la derecha de "c" para los que la función sería negativa y por tanto "c" no sería el extremo superior de T.
Por tanto f(c) tiene que tomar el valor cero: f(c) = 0.
Si f(a) > 0 y f(b) > 0 el razonamiento es similar.

4. BOLZANO

Berhard Bolzano (1781-1848) nació y murió en Praga en cuya universidad se doctoró. Fue ordenado sacerdote católico en 1804. Desempeñó funciones docentes en la universidad de Praga como profesor de religión y de teología. Sus ideas pacifistas y antimilitaristas le costaron el puesto. A partir de su expulsión se dedicó al estudio de cuestinone filosóficas y matemáticas. Se le recuerda fundamentalmente por su aritmetización del cálculo (definiciones de límite, continuidad, derivabilidad y criterios de convergencia de series). Su ejemplo de función continua y no derivable en ningún punto es anterior al de Weierstrass ( Boyer: "The history of the Calculus and its conceptual development") .
Sus escritos pasaron desapercibidos y no tuvieron, en su mayor parte, repercusión hasta finales del s. XIX.
Es de destacar que su "aritmetización del cálculo" coincide casi exactamente con la del prolífico Cauchy, a pesar de haber sido obtenida de forma independiente.
También sus puntos de vista sobre el infinito son los universalmente aceptados desde Cantor.

5. EJERCICIOS: (se añadiran próximamente)

6. ENLACES:
Para consultar el enunciado del teorema y su demostración se puede utilizar cualquier texto de 2º de Bachillerato LOGSE o cualquier libro elemental de Análisis Matemático.
Para consultas relacionadas con Bolzano, sus obras y su vida puedes seguir los siguientes enlaces:

0. ÍNDICE GENERAL (PÁG. PRINCIPAL DEL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS)

1. CIRCUNFERENCIA DE LOS NUEVE PUNTOS
2. PUNTO DE FERMAT
3. TRIÁNGULO ÓRTICO
4. TRIÁNGULO DE MORLEY
5. TEOREMA DE CEVA
6. RECTA DE SIMSON
7.RECTA DE EULER
8. TRIÁNGULOS DE NAPOLEÓN
9.TEOREMA DE LAs BISECTRICES
10. CIRCUNFERENCIA DE APOLONIO
11-12. HIPOCICLOIDES Y EPICICLOIDES
13.CUADRATURA DE UN RECTÁNGULO
14.TRIÁNGULO DE PASCAL Y TRIÁNGULO DE SIERPINSKI
15.TEOREMA DE BOLZANO
16. ESPIRAL DE TEODORO
17. ELIPSE CON APPLET'S

Página diseñada por:Carlos Fleitas(Departamento de Matemáticas I.E.S. "Marqués de Santillana" Colmenar Viejo, Madrid)