2.3.3 El área entre dos curvas

    En esta sección estudiaremos como calcular el área entre dos curvas.

    El problema es el siguiente: Dadas dos funciones f y g , encontrar el área contenida entre sus gráficas en el intervalo [a,b] .

    Para ilustrar el problema y el procedimiento, observa el siguiente ejemplo.

 

f(x)= 3x3 - x2 - 10x

g(x)= - x2 + 2x

area_graf_04.gif (1310 bytes) area_graf_05.gif (1099 bytes)

area_graf_06.gif (2313 bytes)

 

    Utilizaremos el mismo procedimiento que se usó para encontrar el área bajo una curva. Se aproximará el área entre las dos curvas haciendo una partición del intervalo [a,b] en n subintervalos de longitud (b-a)/n. En cada subintervalo escogemos un valor particular de x, al que llamaremos x*.

 

  1. Evaluamos f(x*) y g(x*) y formamos rectángulos de base (b-a)/n y de altura f(x*)-g(x*) (si f(x*)>g(x*)).
  2. El área de dicho rectángulo es (f(x*)-g(x*))((b-a)/n). Al sumar las áreas de los rectángulos obtenemos una aproximación al valor del área entre las curvas.
  3. Tomando el límite cuando n--->Infinito obtendremos el valor exacto del área buscada.
  4. Por definición, el límite de la sumatoria de Riemann es la integral definida de f(x)-g(x) en [a,b].
  5. Si g(x)>f(x) en alguna parte del intervalo, entonces la altura de los rectángulos es g(x*)-f(x*).

 

   En cualquier caso la altura de los rectángulos es |f-g| (valor absoluto de la diferencia).

 

Definición de área entre dos gráficas:
El área entre las gráficas de y=f(x) , y=g(x) en el intervalo [a,b] está dado por el valor de la Integral Definida de |f-g| en [a,b].

 

    Enseguida se calculará el área de la región entre dos curvas.

Dentro del intervalo (-2,2), las curvas:
y=2(1-x2) y y=x2-1
se intersectan en x = -1, 1.

f(x)=2(1 - x2) ; g(x)=x2-1

El área entre las curvas en cada subintervalo es: {4, 4, 4}

Cada una de estas áreas tiene que ser calculada por separado.

El área total entre las curvas es:
4 + 4 + 4 = 12

area_graf_07.gif (2142 bytes)

 


 

Dentro del intervalo (-1,1.5), las curvas:
y = -x2/3+1 y y = x2/3
se intersectan en x = 1.

f(x)= -x2/3+1 ; g(x)=x2/3-1

El área entre las curvas en cada subintervalo es: {1.6, 0.15867}

Cada una de estas áreas tiene que ser calculada por separado.

El área total entre las curvas es: 1.6 + 0.15867 = 1.75867

area_graf_08.gif (1858 bytes)

 

Otros métodos: Rectángulos horizontales.

    El procedimiento anterior depende de que, en cada intervalo de integración, la curva "de arriba" es la misma y la curva "de abajo" también. A continuación se muestra una situación en donde esto no se cumple. Observa las siguientes gráficas.

 

area_graf_09.gif (1409 bytes) area_graf_10.gif (1533 bytes)

 

    Observa que en el intervalo [-1,3] no se cumple que la curva "de arriba" sea la misma. En [-1,2] la curva de arriba es y=x-1 , mientras que en [2,3] la curva de arriba es y=(3-x)1/2.

area_graf_11.gif (1743 bytes)

 

    En la gráfica anterior dibujamos un rectángulo horizontal de base X2 - X1 y de altura Delta.gif (151 bytes)y.

    X2 es elvalor de x dado por la curva de la derecha (x=3-y2) y X1 es el valor de x dado por la curva de la izquierda (x=y+1). En esta situación la curva de la derecha siempre es la misma y la curva de la izquierda también es la misma para todos los rectángulos horizontales desde y=-2 hasta y=1.

Integral.gif (265 bytes) y=1
Entonces el área entre las curvas es igual a [3 - y2 - (y+1)] dy
y=-2

 

    Si integramos con respecto a "y" la diferencia (3-y2) - (y+1) entre y=-2 hasta y=1, entonces encontramos que:

 

9

Area entre las curvas =


2

 

Nota: El problema anterior pudo haber sido resuelto con rectángulos verticales (integración con respecto a "x") pero hubiéramos tenido que calcular el área en dos partes. Primero en [-1,2] y luego
en [2,3].

wpeC.gif (1706 bytes)     wpe7.gif (1546 bytes)     wpe6.gif (1543 bytes)