2.1.2 El área bajo una curva

 

    Enseguida, graficaremos una función en un intervalo [a,b] y se mostrará el área contenida entre su gráfica y el eje x en el intervalo dado. Observa la siguiente gráfica.
 

f(x)= x2 + 1 
en el intervalo cerrado [1,5]
int_graf_01.gif (1548 bytes)

 

   Igual que con el problema de la tangente, empezaremos por hacer aproximaciones. Aproximaremos el área bajo la curva con el área de ciertos rectángulos.

    Observa las siguientes gráficas:
 

int_graf_02.gif (5443 bytes)
int_graf_03.gif (5454 bytes)

 

 
    Como pudiste ver en las gráficas anteriores, con los primeros rectángulos estamos sobreestimando el valor del área y con los segundos rectángulos la estamos subestimando.

    A continuación calcularemos aproximaciones cada vez mejores, tomando cada vez más y más rectángulos.

    Observa las siguientes animaciones.
 

int_graf_04.gif (15369 bytes)
int_graf_05.gif (15269 bytes)

 

    El valor exacto del área es:
 

136

Área = 


 aprox. igual 

45.3333

3

 

Los resultados anteriores parecen indicar que conforme el número n de rectángulos crece, (n--->Infinito.gif (163 bytes)), el valor del área de los rectángulos tanto por la izquierda como por la derecha se acercan a un mismo número. Vamos a cuantificar y a formalizar las ideas expuestas anteriormente.
 
 

Dada una función f(x)>0 en un intervalo [a,b], para encontrar el área bajo la curva procedemos como sigue:  
 
  1. Hacemos una partición (dividimos) del intervalo [a,b] en n-subintervalos iguales de longitud Delta.gif (151 bytes)x=(b-a)/n. Esta será la longitud de la base de cada uno de los n rectángulos. 
  2. En cada subintervalo escogemos un valor especial de x para evaluar la función. A este valor lo denotamos como x* y entonces f(x*) es la altura del rectángulo en ese subintervalo. 
  3. Ahora sumamos las áreas de los n rectángulos. El área de los n rectángulos es entonces: 

n

Sigma_grande.gif (474 bytes)

[ f(x*)(Delta.gif (151 bytes)x)]

k=1

       A la sumatoria anterior se le conoce como Sumatoria de Riemann. 

Definimos el área bajo la curva como:
Límite de la sumatoria de Riemann cuando n tiende a Infinito.

 

   Para ejemplificar lo anterior, ahora se calculará la suma de Riemann como función de n, el número de rectángulos. También se calculará el límite cuando n-->Infinito.gif (163 bytes), cuyo valor es, por definición, el área bajo la curva.
 

f(x)= x2 + 1  

5-1

 4 

 Delta.gif (151 bytes)x= 


 = 


n

n

   

x0

1

x1

1 + Delta.gif (151 bytes)x  = 

1+

 4 


n

x2 1 + 2Delta.gif (151 bytes)x = 1 + 2(

4

)

n

(...)

4

xk= 1 + kDelta.gif (151 bytes)x = 1 + k(
)

n

      Si escogemos el extremo derecho de los subíntervalos, tendríamos que    

4k

xk* = xk = 1+ 


n

   

4k

1 + (1 + 

4k

)2

f(xk*) = 

f(

1 + 


) = 


n

n

[ 4k ](4/n)
f(xk*) Delta.gif (151 bytes)x = 1 +(1+
)2
n

 

Desarrollando la expresión anterior, nos queda:   

8(17n2 + 18n + 4)

La suma de Riemann = 


3n2

136

48

32

La suma de Riemann


 + 


 + 


3

n

3n2

136

Area = Límite de la suma de Riemann


3

int_graf_06.gif (1531 bytes) 

 

 

 

wpeC.gif (1706 bytes)       wpe7.gif (1546 bytes)     wpe6.gif (1543 bytes)