El  Número

Ese misterioso 3'141592... que se cuela por todas las puertas y ventanas.

        El número se define como la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Se puede calcular una aproximación de forma experimental. Puedes coger un recipiente redondo (por ejemplo, un bote de conservas) y medirlo. Yo he obtenido para la longitud de la circunferencia 26'7 cm, y para el diámetro 8'5 cm. He realizado la división y el cociente es 3'141176... (téngase en cuenta el error experimental). Los objetos redondos (ruedas, recipientes,...) han sido utilizados por el hombre desde hace miles de años. En algún momento debieron darse cuenta de que ese 3'14... que aparece siempre que manejamos circunferencias, círculos y esferas es un número que podemos utilizar para calcular longitudes, áreas y volúmenes. 

        Los antiguos egipcios (hacia 1600 a. de C.) ya sabían que existía una relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro; y entre el área del círculo y el diámetro al cuadrado (seguramente de forma intuitiva). En el Papiro de Rhind puede leerse lo siguiente: "Corta 1/9 del diámetro y construye un cuadrado sobre la longitud restante. Este cuadrado tiene el mismo área que el circulo". Es decir, el área del círculo (llamémosla A) es igual al cuadrado de 8/9 del diámetro (d=2r), A = d2*64/81 = 4r2*64/81 = r2*256/81. Esto equivale a decir que asignaban a el valor 256/81, aproximadamente 3'16.

        En Mesopotamia, más o menos por la misma época, los babilonios utilizaban el valor 3'125 (3+1/8) según queda registrado en la Tablilla de Susa.

        Los geómetras de la Grecia clásica conocían que la razón entre la longitud de una circunferencia cualquiera y su diámetro es siempre constante (el número al que ahora llamamos pi). También conocían y habían conseguido demostrar que tanto la razón entre el área de un círculo y su diámetro al cuadrado, como la del volumen de una esfera al cubo de su diámetro eran constantes (desconocidas en aquel momento, libro XII de "Los Elementos"). Fue Arquímedes (siglo III a. de C.) quien determinó que estas constantes estaban estrechamente relacionadas con . Además, utilizó el método de exhaución, inscribiendo y circunscribiendo polígonos de hasta 96 lados y consiguiendo una magnífica aproximación (si tenemos en cuenta los medios con los que contaba), 3+10/71 < < 3+1/7; es decir, el número buscado está entre 3'1407 y 3'1428 (se puede ver en su obra "Sobre la medida del circulo").

        En el siglo II d. de C., Ptolomeo utiliza polígonos de hasta 720 lados y una circunferencia de 60 unidades de radio para  aproximarse un poco más, y da el valor 3 + 8/60 + 30/3600 = 377/120 = 3'14166...

        En China también se hicieron esfuerzos para calcular su valor. Liu Hui en el siglo III, utiliza polígonos de hasta 3072 lados para conseguir el valor de 3'14159, y Tsu Ch'ung Chi en el siglo V da como valor aproximado 355/113 = 3'1415929...

        De la India nos han llegado unos documentos llamados Siddhantas, que datan del 380 d. de C. Son unos sistemas astronómicos en los que se da a el valor 3 + 177/1250, que es exactamente 3'1416. A caballo entre los siglos V y VI vive un importante matemático, Aryabhata, que en su libro Aryabhatiya da una regla de la que obtenemos ese mismo valor: "Suma 4 a 100, multiplica por 8 y súmale 62.000. El resultado te da aproximadamente la circunferencia de un círculo cuyo diámetro es 20.000". Muchos años después, hacia el 1400, otro matemático hindú, Madhava descubre los desarrollos en serie de seno, coseno y arco tangente, y consigue calcular 11 cifras decimales sumando 21 términos de la serie que, más de doscientos años después, redescubriría Gregory.

       En 1429, Al-Khasi sigue utilizando el método de Arquímedes y trabaja con polígonos de hasta ¿50.331.648? ¿805.306.368? lados para obtener el valor 3'14159265358979 (14 decimales). En el siglo XVI, el matemático francés Vieta usó polígonos de hasta 393.216 lados para aproximarse hasta 3'141592653 (9).

        Pero el mayor logro conseguido con este método se debe al matemático alemán, residente en Holanda, Ludolf van Ceulen (1540-1610), que trabajó en el cálculo de casi hasta el día de su muerte. Llegó a trabajar con polígonos de 43611.6862018.4271387.904 lados (262) consiguiendo una aproximación de 35 cifras decimales. Su deseo, cumplido tras su muerte, que sobre su lápida fuese grabado el número con los 35 decimales calculados.

        El siguiente avance teórico se debe a dos holandeses. Willebrod Snell (1580-1626) consigue demostrar  que el arco x está comprendido entre 3*sen(x)/(2+cos(x))  y  1/3*(2*sen(x)+tan(x)). Christian Huyghens (1629-1695), cuya obra ha sido calificada como modelo de razonamiento geométrico, propone que el arco x puede aproximarse por la expresión (sen²(x)*tan x)1/3 . Con su método, Snell obtuvo 34 decimales exactos, partiendo del cuadrado y doblando 28 veces el número de lados. Como ejemplo tomemos x = pi/16, y las fórmulas de Snell multiplicadas por 16 nos dan unos valores de 3.141566592 y 3.141697707 respectivamente, lo que da una idea de lo próximos que están a .


        Como podemos ver, el número de lados necesarios para calcular 35 decimales con el método de Arquímedes es bastante considerable, y los nuevos métodos de Snell y Huyghens tampoco resultan demasiado eficaces. El trabajo necesario para calcular más y más decimales empezaba a escapar a las posibilidades del ser humano. Pero nuevos métodos  estaban naciendo y empezando a crecer en las mentes de algunos matemáticos. Durante el siglo XVII empezaron a utilizarse las series, productos infinitos y fracciones continuas, y el cálculo diferencial de Leibnitz y Newton jugó un papel importante en todo ello.

        En 1665, el inglés John Wallis descubre el producto infinito /2 = 2/1 * 2/3 * 4/3 * 4/5 * 6/5 * ..., pero desafortunadamente su convergencia es muy lenta. En 1674 el alemán G. Leibnitz da la serie:

/4 = 1 - 1/3 + 1/5 -1/7 ...

 pero presenta el mismo problema. Tienen que sumarse unos 19 millones de términos para conseguir 7 decimales correctos. Dejemos claro que el haber encontrado estas expresiones supone un gran mérito, aunque no son útiles en la práctica para calcular con precisión. La serie de Leibnitz puede deducirse fácilmente del desarrollo de la función arcotangente como serie de potencias, encontrado por el inglés Gregory (1671):

que para x = 1 nos da la serie anterior. Es fácil darse cuenta de que si tomamos para x un valor comprendido entre 0 y 1, entonces los términos de la serie se hacen pequeños de forma más rápida, y tenemos que sumar muchos menos términos para conseguir una buena aproximación. Proponemos por ejemplo tomar x = raíz(3)/3, y obtenemos la serie:

/6 = raíz(3)/3 * ( 1 - 1/(3*3) + 1/(5*32) - 1/(7*33) + 1/(9*34) - ... )

que converge de forma bastante rápida. Sólo con sumar 10 términos y multiplicar por 2*raíz(3), tengo un valor de con 5 decimales correctos. Sin embargo esta serie no fue utilizada en la práctica, ¿por qué?. Por que había que calcular la raíz de 3 con muchos decimales para obtener una buena aproximación, y esto no era una tarea fácil a finales del siglo XVII. 


        La solución a todo debía ser una serie de convergencia rápida y que no implicara el cálculo de raíces o expresiones  excesivamente complejas. John Machin (1706) encuentra la solución:

/4 = 4*arc tan (1/5) - arc tan (1/239)

Téngase en cuenta que tan (4*arc tan (1/5)) = (5/6) / (119/144) = 120/119, utilizando 
dos veces la fórmula de la tangente del ángulo doble. Por tanto, tan (4*arc tan (1/5) - arc tan (1/239) = 
= [tan (4*arc tan (1/5)) - 1/239] / [1 + tan (4*arc tan (1/5))*1/239]; y  sustituyendo el primer valor obtenido
nos queda  (120/119 - 1/239) / (1 - 120/119 * 1/239) = (28680 - 119) / (28441+120) = 1.

        En la práctica el número de términos que hace falta sumar correspondientes al desarrollo de arc tan (1/239) se limita a unos pocos sumandos, pues éstos se hacen muy pequeños rápidamente. En el desarrollo del otro término hay que tomar más sumandos, pero el cálculo de estos es mucho más sencillo. Utilizando su fórmula, Machin consiguió 100 decimales (calculados a mano). 

        Años más tarde, Euler encontró algunas fórmulas más de las que destacamos dos por su sencillez y belleza. En 1734 consigue calcular la suma de los inversos de los cuadrados, problema que se había resistido durante años a los intentos de muchos matemáticos. La convergencia de esta serie es, sin embargo, lenta,

  S 1/n2 =2/6

La segunda, descubierta en 1738, converge de una forma mucho más rápida.

 arc tan (1) = arc tan (1/2) + arc tan (1/3) =  /4

Demostración: Obsérvese primero que los dos triángulos azules son semejantes, ya que tienen un ángulo de 90º y la tangente del más agudo vale 1/2. En el triángulo grande b + c + 45º = 90º. De donde b + c = 45º. Pero b = arc tan (1/2) y c = arc tan (1/3).

    Otra forma sencilla de verlo. Basta con darse cuenta de que b=arc tan (1/2) 
y c=arc tan (1/3). Y la suma b+c es el ángulo que queda entre el lado del 
cuadrado azul y su diagonal; es decir, la mitad de un ángulo recto. Por tanto,
b+c = 45º.

     Una tercera demostración puede hacerse utilizando números complejos. Si multiplicamos:

(2+i)*(3+i) = 6 + 2i + 3i - 1 = 5 + 5i

     Pero el argumento de 2+i es arc tan (1/2) y el de 3+i es arc tan (1/3). Al multiplicar los dos números
los argumentos se suman, con lo cual arc tan (1/2) + arc tan (1/3) es arc tan (1) = p/4.

        La fórmula desarrollada quedaría como sigue:

         En esta época se solía utilizar la letra "p" (peripheria) para designar a la razón entre circunferencia y diámetro, aunque algunos, como el inglés William Jones (1706), ya utilizaban el símbolo. Fue Leonhard Euler quien introdujo este símbolo de forma definitiva al utilizarlo en su libro "Introductio in Analysin Infinitorum", publicado en 1748.

        Años más tarde, en 1764, Euler encontraría otra fórmula de convergencia rápida. Esta fórmula le permitió calcular 20 decimales de en una hora. La fórmula es:

/4 = 5*arc tan(1/7) + 2*arc tan(3/79)

        No es sólo que la serie converja muy rápida, es que Euler era un verdadero prodigio para el cálculo. Era capaz de recitar de memoria cantidades como 2414 ó 3376, y  hacer cálculos mentales en los que tenía que retener en la memoria hasta 50 cifras decimales. 

        Durante el siglo XVIII se descubrieron más fórmulas del estilo de la de Machin. Destacaremos especialmente la de Hermann, /4 = 2*arc tan (1/2) - arc tan (1/7) y la de Hutton (1776), /4 = 2*arc tan (1/3) + arc tan (1/7). Esta última fue utilizada por Vega en 1794 para calcular 140 decimales.

        En 1761 Lambert demuestra que es irracional, y en 1794 Legendre prueba un resultado un poco más fuerte que 2 también es irracional. En 1882 el holandés Lindemann demuestra que es trascendente, lo cual supone (entre otras cosas) que la cuadratura del círculo es imposible. Este problema había permanecido sin resolver durante más de 2000 años. Todo esto arroja un poco de luz sobre la naturaleza de : nunca podremos llegar a conocerlo; sus decimales constituyen una sucesión ilimitada no periódica que ni siquiera es la raíz de una ecuación algebraica. Algunos consideran los decimales de como una especie de sucesión de números aleatorios, impredecible e indeterminable.

        En 1844, Dase, un calculista ultrarrápido, utilizó otra fórmula del tipo arcotangente para conseguir una aproximación con 200 decimales correctos. La fórmula descubierta por Strassnitzky es:

/4 = arc tan (1/2) + arc tan (1/5) + arc tan (1/8)

        El gran matemático alemán, Karl Friedrich Gauss (1777-1855), también descubrió algunas fórmulas similares a las anteriores. Una de las más utilizadas ha sido:

/4 = 12*arc tan (1/18) + 8*arc tan (1/57) - 5*arc tan (1/239)

Y otra similar descubierta por Störmer (1896):

/4 = 6*arc tan (1/8) + 2*arc tan (1/57) + arc tan (1/239)

La idea es que cuanto mayores sean los denominadores, más rápida será la convergencia. También se pierde eficacia si el número de sumandos es grande. 

        El último gran esfuerzo lo hizo el inglés Willian Shanks, que calculó a mano 707 decimales (527 correctos) utilizando la fórmula de Machin. El cómputo le supuso una dedicación de 20 años, acabando en 1853. Para superar esta marca hubo que esperar hasta 1946, año en el que Ferguson detecta el error de Shanks en el decimal 528. El cálculo lo realizó con la ayuda de una calculadora (de las de entonces), llegando en 1947 a los 808 decimales. En 1949 llegaron a calcularse 1120, y a partir de esta fecha empieza la era del ordenador electrónico.


        Fue Reitweisner quien en 1949 y siguiendo una sugerencia de Von Neumann, calculó 2037 decimales en 70 horas. Utilizó uno de los primeros ordenadores electrónicos, el ENIAC (Electronic Numerical Integrator and Computer), que pesaba 18 toneladas. En 1958, Genuys utiliza un IBM 704 para alcanzar los 10.000 decimales en 100 minutos. En ambos casos se empleó la fórmula de Machin.

        En 1961, Shanks y Wrench alcanzan los 100.265 decimales en 8 horas y 43 minutos sobre un IBM 7090. En 1967, Guilloud y Dichampt alcanzan los 500.000 sobre un CDC 6600. En 1973, Guilloud y Bouyer alcanzan 1.001.250 decimales sobre un CDC 7600 en 22 horas y 11 minutos, más 1 hora y 7 minutos para pasar el resultado a decimal. En los tres casos se utilizaron las fórmulas de Gauss y Störmer, una para hacer el primer cálculo y la otra para comprobarlo. 

        Se siguieron utilizando estas fórmulas del arco tangente en sus diversas variantes hasta la mitad de la década de los 80. Pero ya se dejaba ver que estas fórmulas no eran suficientes para alcanzar cantidades mucho más grandes, tales como 1.000.000.000 (109). Se estimó que un ordenador necesitaría más de 25 años de cálculo ininterrumpido para llegar a tales cifras. El objetivo era ahora encontrar algoritmos más eficaces, métodos que permitieran calcular más decimales en menos tiempo. La primera solución fue una serie descubierta por Ramanujan en 1914, 

que fue utilizada por Gosper en 1985 cara conseguir 17.526.200 decimales. La principal característica de esta serie es que cada término sumado añade 8 decimales exactos al valor calculado para p

        Quizá el hecho de que la serie de Ramanujan sea algo compleja hizo que se buscarán otras alternativas. El antiguo método de Arquímedes había sido estudiado y formalizado por Pfaff en 1800. Este algoritmo puede expresarse de forma recurrente con las siguientes fórmulas:

an+1 = 2*an*bn/(an+bn)   ,   bn+1 = raíz (an+1*bn)   tomando a0 = 2*raíz(3) ,  b0 = 3

pero como ya sabemos la sucesión converge a p muy lentamente (convergencia lineal). 

        En 1976, Brent y Salamin (de forma independiente) encuentran una sucesión similar a la anterior pero que converge de forma cuadrática (el número de decimales obtenidos se duplica con cada iteración). Al algoritmo se le suele llamar de Brent-Salamin, o también de Gauss-Legendre. El algoritmo es el que sigue, siendo pn una sucesión que converge a  p:

an = (an-1+bn-1)/2   ,   bn = raíz (an-1*bn-1)   ,   cn = an-1- an 

pn = 4*(an+1)2/(1-suma {(k=0,inf) 2k+1 ck2})         tomando a0 = 1 ,  b0 = 1/raíz(2)  ,  n>0

        Otro algoritmo en esta línea es el que los hermanos Borwein encontraron en 1984, y que también converge de forma cuadrática (convergencia de segundo orden):

xn+1 = (raíz(xn) + 1/raíz(xn))/2  ,    yn+1 = raíz(xn)*(yn + 1)/(xn + yn)

pn=pn-1*yn+1*(xn+1 +1)/(yn+1 + 1)   tomando x0 = raíz(2) , y0 = 0 , p0 = 2 + raíz(2)

En 1985 encontraron otros dos algoritmos de convergencias cúbica y cuártica respectivamente. Este último se calcula de la siguiente forma, siendo an una sucesión que converge a 1/p:

yn+1 = (1 - (1-yn4)1/4)/(1 + (1-yn4)1/4)    ,    an+1 = (1+yn+1)4 an - 22n+3 yn+1(1 + yn + yn+12)

tomando  y0 = raíz(2) - 1   ,   a0 = 6 - 4*raíz(2)

Este último algoritmo fue utilizado en 1986 por Bailey para calcular 29.360.111 decimales sobre un Cray-2. Decir que los hermanos Borwein siguieron trabajando en este tipo de algoritmos y encontraron sucesiones que convergen a p de forma quíntica, séptica?, nónica,... También obtuvieron algunas fórmulas similares a las de Ramanujan.

        En 1988 Kanada y Tamura calculan 201.326.000 decimales sobre un Hitachi S-820 en 6 horas, utilizando el algoritmo de Gauss-Legendre (Brent-Salamin). Sólo necesitaron 28 iteraciones para obtener el resultado. El algoritmo de Borwein de convergencia de cuarto orden (convergencia cuártica)  fue utilizado para verificar el resultado.

        Ese mismo año los hermanos Chudnovsky siguiendo la línea de Ramanujan encuentran la siguiente fórmula:

Cada término de esta fórmula añade 14 decimales exactos al valor calculado para p, y con ella consiguieron la marca de 4.044.000.000 decimales en 1994 utilizando un ordenador de fabricación propia.

        El 20 de septiembre de 1999, Kanada y Takahashi consiguen 206.158.430.000 decimales. Hacen dos cálculos independientes. El programa principal utiliza el algoritmo de Gauss-Legendre (Brent-Salamin) y tarda un total de 37h 21m 04s. El programa de verificación utiliza el algoritmo de convergencia de cuarto orden de Borwein y tarda un total de 46h 07m 10s. El ordenador es un Hitachi SR8000 de la Universidad de Tokio, con 128 microprocesadores y una memoria principal superior a 800 GB. La velocidad de proceso para cada uno de los microprocesadores puede alcanzar los 8.000.000.000 de FLOPs (8.000 megaflops, 8*109 operaciones de coma flotante por segundo). 

        

 

        Aquí tienes unas cuantas secciones más: 

  1. Valores de pi a lo largo de la historia
  2. Los resultados de aplicar el método de Arquímedes
  3. Los 1.500 primeros decimales de p
  4. Los 10.000 primeros decimales de p
  5. Aproximaciones de p
  6. Estadísticas sobre los decimales de p
  7. Pon tus condiciones y calcúlalo tu mismo
  8. Cálculo de pi con probabilidades: Método de Montecarlo (applets en Java)
  9. Curiosidades, citas y poesías
  10. La demostración de Lambert
  11. La demostración de Legendre
  12. La demostración de Lindemann
  13. Las demostraciones de Niven.
  14. Problema abierto: ¿es p normal?